背理法　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年９月１０日付け）

　三角関数 ｓｉｎ ｘ は、ｘ の整式として表せないことを証明せよ。（出典：1970年 名古屋大学）







































（答）　らすかるさんが考察されました。（平成２５年９月１０日付け）

　もし、ｘ の整式で表せたとすると、ｌｉｍ_x→∞ (ｘ の整式)＝±∞　なので矛盾。


（コメント）　「ｘ の整式」という表現を、「有限次数の多項式」と考える。

　三角関数 ｓｉｎ ｘ が、ｘ の整式で表されるとすると、

　　　ｓｉｎ ｘ ＝ ａｘ^ｎ＋ｂｘ^ｎ-1＋・・・＋ｃｘ²＋ｘ　（ａ、ｂ、・・・、ｃ は定数で、ａ≠０）

と書ける。

　ここで、　ｓｉｎ ０＝０　なので、定数項はない。ｌｉｍ_x→0 ｓｉｎ ｘ /ｘ＝１ から、ｘ の係数は、１

　両辺をｎ回微分して、　ｓｉｎ（ｘ＋ｎπ/２）＝ａ・ｎ！　　これは、矛盾。

　よって、　三角関数 ｓｉｎ ｘ は、ｘ の整式として表せない。

※　らすかるさんの背理法の方がエレガントですね！


　よおすけさんからのコメントです。（平成２５年９月１０日付け）

　解答ありがとうございます。手元にある、数学ワンポイント双書22 三角関数 栗田稔著の
76ページにもこの問題が載っています。確か、巻末にある問題の答えとヒントには、

　ｓｉｎ ｘ ＝０ となる ｘ は無数にあるが、整式ではそのようなことはない。ｌｉｍ_x→∞ を考えて
もよい

と記されていますので、らすかるさんと方針は同じと思われます。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年９月１０日付け）

　例えば、　ｓｉｎ ｘ = a₇x⁷+a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ ならば、8回微分すると

左辺=ｓｉｎ ｘ　、右辺=0　と、とんでもないことになり矛盾。(右辺が　n次でも　同様)

　または、無限乗積　ｓｉｎ ｘ = x Π_ｎ=1^∞ （1 - x²/(n²π²)）　で、整式なら有限積（体C での

零点を用い）。等しければ、とんでもないことになり、矛盾。


　空舟さんからのコメントです。（平成２５年９月１０日付け）

　いろいろな示し方があり、面白いと思いました。例えば、範囲を制限して

「-π/2≦x≦π/2 の区間全体で、ｓｉｎ ｘ と値が一致する ｘ の整式が存在しないことを示せ」

という問題にしてみると、方法がより制限されると思いました。S(H)さんがすでに提示した微
分を使う方法がこの場合にも有効です。