数と組合せ                                戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (平成24年7月8日付け)

 A〜Fは、1〜12の重複しない数とする。

  A×B=D×E 、 B×C=E×F 、 C×D=F×A

が成り立つとき、A〜Fの組み合わせは何通りあるか。



































(答)

 よおすけさんから解答を頂きました。(平成24年7月9日付け)

 1〜12のうち、7と11は、例えば、1×7=7×1や1×11=11×1の場合でしか使えないので、

除外。Aを固定して考えると、対称や数え漏れがなければ、以下のようになります。

 (A,B,C,D,E,F)=(1,12,2,4,3,8)、(1,12,2,3,4,6)、(1,12,4,2,6,8)、(1,12,5,2,6,10)、(1,10,4,2,5,8)、

          (1,10,3,2,5,6)、(2,6,8,3,4,12)、(2,9,8,3,6,12)、(2,10,6,4,5,12)、(2,10,3,4,5,6)、

          (2,12,3,6,4,9)、(3,12,6,4,9,8)、(3,10,2,6,5,4)、(3,10,4,6,5,8)、(4,10,6,8,5,12)

の15通り。


 攻略法さんから解答を頂きました。(平成24年7月17日付け)

 全180通りを書き上げました。

No. 1
(1,6,4,2,3,8)
 1×6=2×3
 6×4=3×8
 4×2=8×1
No. 2
(1,6,5,2,3,10)
 1×6=2×3
 6×5=3×10
 5×2=10×1
No. 3
(1,6,4,3,2,12)
 1×6=3×2
 6×4=2×12
 4×3=12×1
No. 4
(1,8,3,2,4,6)
 1×8=2×4
 8×3=4×6
 3×2=6×1
No. 5
(1,8,5,2,4,10)
 1×8=2×4
 8×5=4×10
 5×2=10×1
No. 6
(1,8,6,2,4,12)
 1×8=2×4
 8×6=4×12
 6×2=12×1
No. 7
(1,8,3,4,2,12)
 1×8=4×2
 8×3=2×12
 3×4=12×1
No. 8
(1,10,3,2,5,6)
 1×10=2×5
 10×3=5×6
 3×2=6×1
No. 9
(1,10,4,2,5,8)
 1×10=2×5
 10×4=5×8
 4×2=8×1
No. 10
(1,10,6,2,5,12)
 1×10=2×5
 10×6=5×12
 6×2=12×1
No. 11
(1,12,4,2,6,8)
 1×12=2×6
 12×4=6×8
 4×2=8×1
No. 12
(1,12,5,2,6,10)
 1×12=2×6
 12×5=6×10
 5×2=10×1
No. 13
(1,12,2,3,4,6)
 1×12=3×4
 12×2=4×6
 2×3=6×1
No. 14
(1,12,2,4,3,8)
 1×12=4×3
 12×2=3×8
 2×4=8×1
No. 15
(2,3,8,1,6,4)
 2×3=1×6
 3×8=6×4
 8×1=4×2
No. 16
(2,3,10,1,6,5)
 2×3=1×6
 3×10=6×5
 10×1=5×2
No. 17
(2,3,4,6,1,12)
 2×3=6×1
 3×4=1×12
 4×6=12×2
No. 18
(2,4,6,1,8,3)
 2×4=1×8
 4×6=8×3
 6×1=3×2
No. 19
(2,4,10,1,8,5)
 2×4=1×8
 4×10=8×5
 10×1=5×2
No. 20
(2,4,12,1,8,6)
 2×4=1×8
 4×12=8×6
 12×1=6×2
No. 21
(2,4,3,8,1,12)
 2×4=8×1
 4×3=1×12
 3×8=12×2
No. 22
(2,5,6,1,10,3)
 2×5=1×10
 5×6=10×3
 6×1=3×2
No. 23
(2,5,8,1,10,4)
 2×5=1×10
 5×8=10×4
 8×1=4×2
No. 24
(2,5,12,1,10,6)
 2×5=1×10
 5×12=10×6
 12×1=6×2
No. 25
(2,6,8,1,12,4)
 2×6=1×12
 6×8=12×4
 8×1=4×2
No. 26
(2,6,10,1,12,5)
 2×6=1×12
 6×10=12×5
 10×1=5×2
No. 27
(2,6,8,3,4,12)
 2×6=3×4
 6×8=4×12
 8×3=12×2
No. 28
(2,6,5,4,3,10)
 2×6=4×3
 6×5=3×10
 5×4=10×2
No. 29
(2,9,8,3,6,12)
 2×9=3×6
 9×8=6×12
 8×3=12×2
No. 30
(2,9,4,6,3,12)
 2×9=6×3
 9×4=3×12
 4×6=12×2
No. 31
(2,10,3,4,5,6)
 2×10=4×5
 10×3=5×6
 3×4=6×2
No. 32
(2,10,6,4,5,12)
 2×10=4×5
 10×6=5×12
 6×4=12×2
No. 33
(2,12,4,3,8,6)
 2×12=3×8
 12×4=8×6
 4×3=6×2
No. 34
(2,12,6,3,8,9)
 2×12=3×8
 12×6=8×9
 6×3=9×2
No. 35
(2,12,5,4,6,10)
 2×12=4×6
 12×5=6×10
 5×4=10×2
No. 36
(2,12,1,6,4,3)
 2×12=6×4
 12×1=4×3
 1×6=3×2
No. 37
(2,12,3,6,4,9)
 2×12=6×4
 12×3=4×9
 3×6=9×2
No. 38
(2,12,1,8,3,4)
 2×12=8×3
 12×1=3×4
 1×8=4×2
No. 39
(3,4,6,1,12,2)
 3×4=1×12
 4×6=12×2
 6×1=2×3
No. 40
(3,4,12,2,6,8)
 3×4=2×6
 4×12=6×8
 12×2=8×3
No. 41
(3,4,5,6,2,10)
 3×4=6×2
 4×5=2×10
 5×6=10×3
No. 42
(3,4,2,12,1,8)
 3×4=12×1
 4×2=1×8
 2×12=8×3
No. 43
(3,6,12,2,9,8)
 3×6=2×9
 6×12=9×8
 12×2=8×3
No. 44
(3,6,4,9,2,12)
 3×6=9×2
 6×4=2×12
 4×9=12×3
No. 45
(3,8,6,2,12,4)
 3×8=2×12
 8×6=12×4
 6×2=4×3
No. 46
(3,8,9,2,12,6)
 3×8=2×12
 8×9=12×6
 9×2=6×3
No. 47
(3,8,9,4,6,12)
 3×8=4×6
 8×9=6×12
 9×4=12×3
No. 48
(3,8,1,6,4,2)
 3×8=6×4
 8×1=4×2
 1×6=2×3
No. 49
(3,8,5,6,4,10)
 3×8=6×4
 8×5=4×10
 5×6=10×3
No. 50
(3,8,1,12,2,4)
 3×8=12×2
 8×1=2×4
 1×12=4×3
No. 51
(3,10,1,6,5,2)
 3×10=6×5
 10×1=5×2
 1×6=2×3
No. 52
(3,10,2,6,5,4)
 3×10=6×5
 10×2=5×4
 2×6=4×3
No. 53
(3,10,4,6,5,8)
 3×10=6×5
 10×4=5×8
 4×6=8×3
No. 54
(3,12,6,4,9,8)
 3×12=4×9
 12×6=9×8
 6×4=8×3
No. 55
(3,12,2,9,4,6)
 3×12=9×4
 12×2=4×6
 2×9=6×3
No. 56
(4,5,6,2,10,3)
 4×5=2×10
 5×6=10×3
 6×2=3×4
No. 57
(4,5,12,2,10,6)
 4×5=2×10
 5×12=10×6
 12×2=6×4
No. 58
(4,6,10,2,12,5)
 4×6=2×12
 6×10=12×5
 10×2=5×4
No. 59
(4,6,12,3,8,9)
 4×6=3×8
 6×12=8×9
 12×3=9×4
No. 60
(4,6,1,8,3,2)
 4×6=8×3
 6×1=3×2
 1×8=2×4
No. 61
(4,6,5,8,3,10)
 4×6=8×3
 6×5=3×10
 5×8=10×4
No. 62
(4,6,1,12,2,3)
 4×6=12×2
 6×1=2×3
 1×12=3×4
No. 63
(4,6,3,12,2,9)
 4×6=12×2
 6×3=2×9
 3×12=9×4
No. 64
(4,9,8,3,12,6)
 4×9=3×12
 9×8=12×6
 8×3=6×4
No. 65
(4,9,2,12,3,6)
 4×9=12×3
 9×2=3×6
 2×12=6×4
No. 66
(4,10,1,8,5,2)
 4×10=8×5
 10×1=5×2
 1×8=2×4
No. 67
(4,10,3,8,5,6)
 4×10=8×5
 10×3=5×6
 3×8=6×4
No. 68
(4,10,6,8,5,12)
 4×10=8×5
 10×6=5×12
 6×8=12×4
No. 69
(4,12,2,6,8,3)
 4×12=6×8
 12×2=8×3
 2×6=3×4
No. 70
(4,12,1,8,6,2)
 4×12=8×6
 12×1=6×2
 1×8=2×4
No. 71
(4,12,5,8,6,10)
 4×12=8×6
 12×5=6×10
 5×8=10×4
No. 72
(5,6,1,10,3,2)
 5×6=10×3
 6×1=3×2
 1×10=2×5
No. 73
(5,6,2,10,3,4)
 5×6=10×3
 6×2=3×4
 2×10=4×5
No. 74
(5,6,4,10,3,8)
 5×6=10×3
 6×4=3×8
 4×10=8×5
No. 75
(5,8,1,10,4,2)
 5×8=10×4
 8×1=4×2
 1×10=2×5
No. 76
(5,8,3,10,4,6)
 5×8=10×4
 8×3=4×6
 3×10=6×5
No. 77
(5,8,6,10,4,12)
 5×8=10×4
 8×6=4×12
 6×10=12×5
No. 78
(5,12,1,10,6,2)
 5×12=10×6
 12×1=6×2
 1×10=2×5
No. 79
(5,12,2,10,6,4)
 5×12=10×6
 12×2=6×4
 2×10=4×5
No. 80
(5,12,4,10,6,8)
 5×12=10×6
 12×4=6×8
 4×10=8×5
No. 81
(6,8,3,4,12,2)
 6×8=4×12
 8×3=12×2
 3×4=2×6
No. 82
(6,8,1,12,4,2)
 6×8=12×4
 8×1=4×2
 1×12=2×6
No. 83
(6,8,5,12,4,10)
 6×8=12×4
 8×5=4×10
 5×12=10×6
No. 84
(6,10,1,12,5,2)
 6×10=12×5
 10×1=5×2
 1×12=2×6
No. 85
(6,10,2,12,5,4)
 6×10=12×5
 10×2=5×4
 2×12=4×6
No. 86
(6,10,4,12,5,8)
 6×10=12×5
 10×4=5×8
 4×12=8×6
No. 87
(6,12,3,8,9,4)
 6×12=8×9
 12×3=9×4
 3×8=4×6
No. 88
(6,12,2,9,8,3)
 6×12=9×8
 12×2=8×3
 2×9=3×6
No. 89
(8,9,4,6,12,3)
 8×9=6×12
 9×4=12×3
 4×6=3×8
No. 90
(8,9,2,12,6,3)
 8×9=12×6
 9×2=6×3
 2×12=3×8
No. 91
(3,2,12,1,6,4)
 3×2=1×6
 2×12=6×4
 12×1=4×3
No. 92
(3,2,4,6,1,8)
 3×2=6×1
 2×4=1×8
 4×6=8×3
No. 93
(3,2,5,6,1,10)
 3×2=6×1
 2×5=1×10
 5×6=10×3
No. 94
(4,2,12,1,8,3)
 4×2=1×8
 2×12=8×3
 12×1=3×4
No. 95
(4,2,3,8,1,6)
 4×2=8×1
 2×3=1×6
 3×8=6×4
No. 96
(4,2,5,8,1,10)
 4×2=8×1
 2×5=1×10
 5×8=10×4
No. 97
(4,2,6,8,1,12)
 4×2=8×1
 2×6=1×12
 6×8=12×4
No. 98
(4,3,8,1,12,2)
 4×3=1×12
 3×8=12×2
 8×1=2×4
No. 99
(4,3,10,2,6,5)
 4×3=2×6
 3×10=6×5
 10×2=5×4
No. 100
(4,3,8,6,2,12)
 4×3=6×2
 3×8=2×12
 8×6=12×4
No. 101
(4,3,2,12,1,6)
 4×3=12×1
 3×2=1×6
 2×12=6×4
No. 102
(5,2,3,10,1,6)
 5×2=10×1
 2×3=1×6
 3×10=6×5
No. 103
(5,2,4,10,1,8)
 5×2=10×1
 2×4=1×8
 4×10=8×5
No. 104
(5,2,6,10,1,12)
 5×2=10×1
 2×6=1×12
 6×10=12×5
No. 105
(5,4,3,10,2,6)
 5×4=10×2
 4×3=2×6
 3×10=6×5
No. 106
(5,4,6,10,2,12)
 5×4=10×2
 4×6=2×12
 6×10=12×5
No. 107
(6,1,12,2,3,4)
 6×1=2×3
 1×12=3×4
 12×2=4×6
No. 108
(6,1,8,3,2,4)
 6×1=3×2
 1×8=2×4
 8×3=4×6
No. 109
(6,1,10,3,2,5)
 6×1=3×2
 1×10=2×5
 10×3=5×6
No. 110
(6,2,10,3,4,5)
 6×2=3×4
 2×10=4×5
 10×3=5×6
No. 111
(6,2,12,4,3,8)
 6×2=4×3
 2×12=3×8
 12×4=8×6
No. 112
(6,2,4,12,1,8)
 6×2=12×1
 2×4=1×8
 4×12=8×6
No. 113
(6,2,5,12,1,10)
 6×2=12×1
 2×5=1×10
 5×12=10×6
No. 114
(6,3,12,2,9,4)
 6×3=2×9
 3×12=9×4
 12×2=4×6
No. 115
(6,3,8,9,2,12)
 6×3=9×2
 3×8=2×12
 8×9=12×6
No. 116
(6,4,3,2,12,1)
 6×4=2×12
 4×3=12×1
 3×2=1×6
No. 117
(6,4,9,2,12,3)
 6×4=2×12
 4×9=12×3
 9×2=3×6
No. 118
(6,4,2,3,8,1)
 6×4=3×8
 4×2=8×1
 2×3=1×6
No. 119
(6,4,10,3,8,5)
 6×4=3×8
 4×10=8×5
 10×3=5×6
No. 120
(6,4,9,8,3,12)
 6×4=8×3
 4×9=3×12
 9×8=12×6
No. 121
(6,4,5,12,2,10)
 6×4=12×2
 4×5=2×10
 5×12=10×6
No. 122
(6,5,2,3,10,1)
 6×5=3×10
 5×2=10×1
 2×3=1×6
No. 123
(6,5,4,3,10,2)
 6×5=3×10
 5×4=10×2
 4×3=2×6
No. 124
(6,5,8,3,10,4)
 6×5=3×10
 5×8=10×4
 8×3=4×6
No. 125
(8,1,12,2,4,3)
 8×1=2×4
 1×12=4×3
 12×2=3×8
No. 126
(8,1,6,4,2,3)
 8×1=4×2
 1×6=2×3
 6×4=3×8
No. 127
(8,1,10,4,2,5)
 8×1=4×2
 1×10=2×5
 10×4=5×8
No. 128
(8,1,12,4,2,6)
 8×1=4×2
 1×12=2×6
 12×4=6×8
No. 129
(8,3,4,2,12,1)
 8×3=2×12
 3×4=12×1
 4×2=1×8
No. 130
(8,3,2,4,6,1)
 8×3=4×6
 3×2=6×1
 2×4=1×8
No. 131
(8,3,10,4,6,5)
 8×3=4×6
 3×10=6×5
 10×4=5×8
No. 132
(8,3,12,6,4,9)
 8×3=6×4
 3×12=4×9
 12×6=9×8
No. 133
(8,3,4,12,2,6)
 8×3=12×2
 3×4=2×6
 4×12=6×8
No. 134
(8,3,6,12,2,9)
 8×3=12×2
 3×6=2×9
 6×12=9×8
No. 135
(8,5,2,4,10,1)
 8×5=4×10
 5×2=10×1
 2×4=1×8
No. 136
(8,5,6,4,10,3)
 8×5=4×10
 5×6=10×3
 6×4=3×8
No. 137
(8,5,12,4,10,6)
 8×5=4×10
 5×12=10×6
 12×4=6×8
No. 138
(8,6,2,4,12,1)
 8×6=4×12
 6×2=12×1
 2×4=1×8
No. 139
(8,6,10,4,12,5)
 8×6=4×12
 6×10=12×5
 10×4=5×8
No. 140
(8,6,2,12,4,3)
 8×6=12×4
 6×2=4×3
 2×12=3×8
No. 141
(9,2,12,3,6,4)
 9×2=3×6
 2×12=6×4
 12×3=4×9
No. 142
(9,2,12,6,3,8)
 9×2=6×3
 2×12=3×8
 12×6=8×9
No. 143
(9,4,6,3,12,2)
 9×4=3×12
 4×6=12×2
 6×3=2×9
No. 144
(9,4,6,12,3,8)
 9×4=12×3
 4×6=3×8
 6×12=8×9
No. 145
(9,8,3,6,12,2)
 9×8=6×12
 8×3=12×2
 3×6=2×9
No. 146
(9,8,3,12,6,4)
 9×8=12×6
 8×3=6×4
 3×12=4×9
No. 147
(10,1,6,5,2,3)
 10×1=5×2
 1×6=2×3
 6×5=3×10
No. 148
(10,1,8,5,2,4)
 10×1=5×2
 1×8=2×4
 8×5=4×10
No. 149
(10,1,12,5,2,6)
 10×1=5×2
 1×12=2×6
 12×5=6×10
No. 150
(10,2,6,5,4,3)
 10×2=5×4
 2×6=4×3
 6×5=3×10
No. 151
(10,2,12,5,4,6)
 10×2=5×4
 2×12=4×6
 12×5=6×10
No. 152
(10,3,2,5,6,1)
 10×3=5×6
 3×2=6×1
 2×5=1×10
No. 153
(10,3,4,5,6,2)
 10×3=5×6
 3×4=6×2
 4×5=2×10
No. 154
(10,3,8,5,6,4)
 10×3=5×6
 3×8=6×4
 8×5=4×10
No. 155
(10,4,2,5,8,1)
 10×4=5×8
 4×2=8×1
 2×5=1×10
No. 156
(10,4,6,5,8,3)
 10×4=5×8
 4×6=8×3
 6×5=3×10
No. 157
(10,4,12,5,8,6)
 10×4=5×8
 4×12=8×6
 12×5=6×10
No. 158
(10,6,2,5,12,1)
 10×6=5×12
 6×2=12×1
 2×5=1×10
No. 159
(10,6,4,5,12,2)
 10×6=5×12
 6×4=12×2
 4×5=2×10
No. 160
(10,6,8,5,12,4)
 10×6=5×12
 6×8=12×4
 8×5=4×10
No. 161
(12,1,8,3,4,2)
 12×1=3×4
 1×8=4×2
 8×3=2×12
No. 162
(12,1,6,4,3,2)
 12×1=4×3
 1×6=3×2
 6×4=2×12
No. 163
(12,1,8,6,2,4)
 12×1=6×2
 1×8=2×4
 8×6=4×12
No. 164
(12,1,10,6,2,5)
 12×1=6×2
 1×10=2×5
 10×6=5×12
No. 165
(12,2,4,3,8,1)
 12×2=3×8
 2×4=8×1
 4×3=1×12
No. 166
(12,2,3,4,6,1)
 12×2=4×6
 2×3=6×1
 3×4=1×12
No. 167
(12,2,9,4,6,3)
 12×2=4×6
 2×9=6×3
 9×4=3×12
No. 168
(12,2,10,6,4,5)
 12×2=6×4
 2×10=4×5
 10×6=5×12
No. 169
(12,2,6,8,3,4)
 12×2=8×3
 2×6=3×4
 6×8=4×12
No. 170
(12,2,9,8,3,6)
 12×2=8×3
 2×9=3×6
 9×8=6×12
No. 171
(12,3,6,4,9,2)
 12×3=4×9
 3×6=9×2
 6×4=2×12
No. 172
(12,3,8,9,4,6)
 12×3=9×4
 3×8=4×6
 8×9=6×12
No. 173
(12,4,2,6,8,1)
 12×4=6×8
 4×2=8×1
 2×6=1×12
No. 174
(12,4,10,6,8,5)
 12×4=6×8
 4×10=8×5
 10×6=5×12
No. 175
(12,4,3,8,6,2)
 12×4=8×6
 4×3=6×2
 3×8=2×12
No. 176
(12,5,2,6,10,1)
 12×5=6×10
 5×2=10×1
 2×6=1×12
No. 177
(12,5,4,6,10,2)
 12×5=6×10
 5×4=10×2
 4×6=2×12
No. 178
(12,5,8,6,10,4)
 12×5=6×10
 5×8=10×4
 8×6=4×12
No. 179
(12,6,3,8,9,2)
 12×6=8×9
 6×3=9×2
 3×8=2×12
No. 180
(12,6,4,9,8,3)
 12×6=9×8
 6×4=8×3
 4×9=3×12

(コメント) 攻略法さんに感謝!


 とんくまさんから解答を頂きました。(平成24年7月17日付け)

 プログラム(SQL on DB2 9.7.5)で解いてみました。SQL は、本来 Relational Data base の
アクセス言語で、一般のプログラミング言語ではありませんが、組み合わせがJOIN操作で
自然に出来るので、使ってみました。 30通り。


----------------------- Commands Entered ------------------------
WITH
all_pattern AS (
SELECT a , b , c , d , e , f
FROM (VALUES 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) n(a)
INNER JOIN
(VALUES 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) n(b)
ON b <> a
INNER JOIN
(VALUES 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) n(c)
ON c <> a
AND c <> b
INNER JOIN
(VALUES 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) n(d)
ON d <> a
AND d <> b
AND d <> c
INNER JOIN
(VALUES 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) n(e)
ON e <> a
AND e <> b
AND e <> c
AND e <> d
AND a * b = d * e
INNER JOIN
(VALUES 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ) n(f)
ON f <> a
AND f <> b
AND f <> c
AND f <> d
AND f <> e
AND b * c = e * f
AND c * d = f * a
)
SELECT
'(' || LPAD(a , 2) || ' , '
|| LPAD(b , 2) || ' , '
|| LPAD(c , 2) || ' , '
|| LPAD(d , 2) || ' , '
|| LPAD(e , 2) || ' , '
|| LPAD(f , 2) || ' )' AS "(a , b , c , d , e , f)"
FROM all_pattern t
WHERE NOT EXISTS
(SELECT 0
FROM all_pattern s
WHERE s.a <= t.a
AND
( s.b = t.a
AND s.c = t.b
AND s.d = t.c
AND s.e = t.d
AND s.f = t.e
OR
s.c = t.a
AND s.d = t.b
AND s.e = t.c
AND s.f = t.d
AND s.a = t.e
OR
s.d = t.a
AND s.e = t.b
AND s.f = t.c
AND s.a = t.d
AND s.b = t.e
OR
s.e = t.a
AND s.f = t.b
AND s.a = t.c
AND s.b = t.d
AND s.c = t.e
OR
s.f = t.a
AND s.a = t.b
AND s.b = t.c
AND s.c = t.d
AND s.d = t.e
)
)
ORDER BY
a , b , c , d , e
;
-----------------------------------------------------------------

(a , b , c , d , e , f)
------------------------------
( 1 , 6 , 4 , 2 , 3 , 8 )
( 1 , 6 , 4 , 3 , 2 , 12 )
( 1 , 6 , 5 , 2 , 3 , 10 )
( 1 , 8 , 3 , 2 , 4 , 6 )
( 1 , 8 , 3 , 4 , 2 , 12 )
( 1 , 8 , 5 , 2 , 4 , 10 )
( 1 , 8 , 6 , 2 , 4 , 12 )
( 1 , 10 , 3 , 2 , 5 , 6 ) -- (1,10,3,2,5,6)
( 1 , 10 , 4 , 2 , 5 , 8 ) -- (1,10,4,2,5,8)
( 1 , 10 , 6 , 2 , 5 , 12 )
( 1 , 12 , 2 , 3 , 4 , 6 ) -- (1,12,2,3,4,6)
( 1 , 12 , 2 , 4 , 3 , 8 ) -- (1,12,2,4,3,8)
( 1 , 12 , 4 , 2 , 6 , 8 ) -- (1,12,4,2,6,8)
( 1 , 12 , 5 , 2 , 6 , 10 ) -- (1,12,5,2,6,10)
( 2 , 6 , 5 , 4 , 3 , 10 ) -- *(3,10,2,6,5,4)
( 2 , 6 , 8 , 3 , 4 , 12 ) -- (2,6,8,3,4,12)
( 2 , 9 , 4 , 6 , 3 , 12 )
( 2 , 9 , 8 , 3 , 6 , 12 ) -- (2,9,8,3,6,12)
( 2 , 10 , 3 , 4 , 5 , 6 ) -- (2,10,3,4,5,6)
( 2 , 10 , 6 , 4 , 5 , 12 ) -- (2,10,6,4,5,12)
( 2 , 12 , 3 , 6 , 4 , 9 ) -- (2,12,3,6,4,9)
( 2 , 12 , 4 , 3 , 8 , 6 )
( 2 , 12 , 5 , 4 , 6 , 10 )
( 2 , 12 , 6 , 3 , 8 , 9 )
( 3 , 8 , 5 , 6 , 4 , 10 )
( 3 , 8 , 9 , 4 , 6 , 12 )
( 3 , 10 , 4 , 6 , 5 , 8 ) -- (3,10,4,6,5,8)
( 3 , 12 , 6 , 4 , 9 , 8 ) -- (3,12,6,4,9,8)
( 4 , 10 , 6 , 8 , 5 , 12 ) -- (4,10,6,8,5,12)
( 4 , 12 , 5 , 8 , 6 , 10 )               30 record(s) selected.


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年7月17日付け)

 90通りとか、30通りとかいろんな答えが出ていますが、対称解を削除したりしているようで
すね。しかし、この問題ではA〜Fはすべて区別されますので、正解は180通りだと思います。


 とんくまさんからのコメントです。(平成24年7月17日付け)

 出題者の「よおすけ」さんの回答(不十分だと思いますが)を見ると、巡回置換は除くよう
です。全部で180通り。巡回置換を除くと30通りでしょう。


 よおすけさんからのコメントです。(平成24年7月17日付け)

 攻略法さん、とんくまさん、らすかるさん、解答ありがとうございます。自分の解答はどうやら、
A〜Fの「解の集合」を全て書き上げたものだったようです。この問題は、5年前に当時某私立
の中高一貫校の生徒だった男性の方が作られた問題で、本人によると、小学生でもできると
ありました。(比を使えば・・・)


 攻略法さんからのコメントです。(平成24年7月18日付け)

 RDB的に解釈してみました。

九九表を作成しておく。行および列で、重複しないように3つずつ選んで、3×3の表をつくる。
p,q,r,kp,kq,krは重複しない1から12までの整数として、

   kp kq kr
 p -  ○ △
 q ○ -  □
 r △ □ -


数値が対称(対称行列)となるものが、題意を満たす。

例 p,q,rを1,3,4とすると、k=2のとき、kp,kq,krは2,6,8
      ↓       ↓   ↓
 → 1: 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12
   2: 2  4  6  8 10 12 14 16 18 20 22 24
 → 3: 3  6  9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
 → 4: 4  8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
   5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
   6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
   7: 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
   8: 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
   9: 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
  10: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
  11: 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
  12: 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144


A,B,C,D,E,Fの配置は、

  D  F  B
A  -  F*A A*B
C C*D  -  B*C
E D*E E*F  -

  D  B  F
A  -  A*B F*A
E D*E  -  E*F
C C*D B*C  -

  B  D  F
E  -  D*E E*F
A A*B  -  F*A
C B*C C*D  -

  B  F  D
E  -  E*F D*E
C B*C  -  C*D
A A*B F*A  -

  F  D  B
C  -  C*D B*C
A F*A  -  A*B
E E*F D*E  -

  F  B  D
C  -  B*C C*D
E E*F  -  D*E
A F*A A*B  -


の 3!=6通り。

 p,q,rの選び方は、k=4/3,3/2,2,3,4として、とんくまさんが提示されたように30通り。

よって、全部で30*6=180通り。(A,B,C,D,E,F)では、(A,C,E)=k(D,F,B)となる。


 GAI さんからのコメントです。(平成24年7月20日付け)

 条件1〜12の数を使うを変更して、1〜n の数字での条件を満たす組合せの数 S(n) を
計算したら、

S(7)=0  、S(8)=12  、S(9)=12  、S(10)=60  、S(11)=60  、S(12)=180

S(13)=180  、S(14)=324  、S(15)=492  、S(16)=672  、S(17)=672

S(18)=1104  、S(19)=1104  、S(20)=1656  、S(21)=2040  、・・・・・・・・

と変化していく。(この数を確認して下さい。)

 さて、n=14、15、20 辺りの原因はなんだろう?


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年7月20日付け)

 S(n) について確認しました。n≧11では、「nは素数」⇔「S(n)=S(n-1)」 となるようですね。

S(6)=0  、S(7)=0  、S(8)=12  、S(9)=12  、S(10)=60  、S(11)=60  、S(12)=180
S(13)=180  、S(14)=324  、S(15)=492  、S(16)=672  、S(17)=672  、S(18)=1104
S(19)=1104  、S(20)=1656  、S(21)=2040  、S(22)=2520  、S(23)=2520
S(24)=3804  、S(25)=3948  、S(26)=4668  、S(27)=5220  、S(28)=6492
S(29)=6492  、S(30)=8916  、S(31)=8916  、S(32)=10416  、S(33)=11544
S(34)=12888  、S(35)=13992  、S(36)=17376  、S(37)=17376  、S(38)=19104
S(39)=20736  、S(40)=24684  、S(41)=24684  、S(42)=29748  、S(43)=29748
S(44)=33300  、S(45)=36900  、S(46)=39540  、S(47)=39540  、S(48)=46824
S(49)=47544  、S(50)=52296  、S(51)=55248  、S(52)=60360  、S(53)=60360
S(54)=68328  、S(55)=71112  、S(56)=79044  、S(57)=82788  、S(58)=87156
S(59)=87156  、S(60)=102132  、S(61)=102132  、S(62)=107172  、S(63)=114300
S(64)=122496  、S(65)=126432  、S(66)=139440  、S(67)=139440  、S(68)=148560
S(69)=154200  、S(70)=168048  、S(71)=168048  、S(72)=187788  、S(73)=187788
S(74)=195132  、S(75)=206028  、S(76)=217596  、S(77)=222564  、S(78)=240900
S(79)=240900  、S(80)=261144  、S(81)=269904  、S(82)=279024  、S(83)=279024
S(84)=308520  、S(85)=315288  、S(86)=325368  、S(87)=334560  、S(88)=354564
S(89)=354564  、S(90)=388380  、S(91)=395220  、S(92)=412524  、S(93)=423084
S(94)=435228  、S(95)=443724  、S(96)=479736  、S(97)=479736  、S(98)=498744
S(99)=516432  、S(100)=546000  、S(101)=546000  、S(102)=577752
S(103)=577752  、S(104)=605796  、S(105)=636924  、S(106)=652524
S(107)=652524  、S(108)=698580  、S(109)=698580


 GAI さんからのコメントです。(平成24年7月20日付け)

 1〜n の数字を使って、異なる a、b、c、d、e、f で、

  abc=def 、bcd=efa 、cde=fab

の条件が成立することが可能かを調べています。

 n=26まで計算しましたが(26あたりですごく時間がかかる。)存在しない。どなたかどこ
までnを広げたら存在できるのか効率の良いプログラムで調べて頂けませんか?もし、存
在が不可能ならそれはなぜ?


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年7月20日付け)

 第1式の両辺にdを掛けると、 abcd=d2ef

 第2式の両辺にaを掛けると、 abcd=a2ef

 よって、a=d となり矛盾。すなわち、任意のnについて、条件を満たすものは存在しない。