当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年１月４日付け）
互いに素な場合を、無限を対象に考える。すなわち、
自然数 N={1,2,3,..,n,....} からランダムに２個の数を選んだとき、それが互いに素である２数
になる確率Ｐ1はどれくらいか？
同じく、N={1,2,3,..,n....} からランダムに３個の数を選んだとき、その全ての数を割る１より大
きい因数が存在しない確率Ｐ2はいくらか？
例 (2,3,4)、(3,5,6)、(4,5,8)、… など
さらに、３つの数のどの２数も互いに素になっている場合の確率Ｐ3はいくらか？
例 (2,3,5)、(3,4,5)、(4,5,7)、… など
（答） ＨＮ「Ｖ」さんが考察されました。（平成２５年１月４日付け）
無限にある自然数からランダムに２個の数を選ぶというのは出来そうにないので、有限個
の自然数からランダムに２個の数を選ぶ場合を考え、その極限値がどうなるかを考えました。
有限個の自然数の取り方にもよると思いますが、２以上の自然数ｎについて、小さい方から
ｎ番目までの素数で素因数分解でき、各素数の０からn-1乗までになっている自然数からラン
ダムに２個の数を選ぶことを考え、ｎ→∞を考えると、Ｐ1＝０ となりそうです。
これは、{1,2,3,..,n} からランダムに２個の数を選んだとき、それが互いに素である２数になる
確率をＰnとして、limn→∞Ｐn を考えたときとは異なる可能性もあります。
らすかるさんが考察されました。（平成２５年１月４日付け）
2数がともに2で割り切れる確率は (1/2)2
2数がともに3で割り切れる確率は (1/3)2
2数がともに5で割り切れる確率は (1/5)2
・・・
なので、求める確率は、
P1=Πp (1-(1/p)2)=1/ζ(2)=6/π2=0.607927… （Πはすべての素数にわたる）
検索したら、Webサイト「互いに素」にありました。3数のときはP2=1/ζ(3)=0.831907…とな
るみたいです。P3は、
P3=Πp {((p-1)/p)3+3(1/p)((p-1)/p)2}=Πp {1-(3p-2)/p3}=0.286747…
この値は、オンライン整数列大辞典「A065473」にありました。
ＨＮ「Ｖ」さんからのコメントです。（平成２５年１月８日付け）
この問題は、数学セミナー（２０１３年１月号） P80〜
続・確率パズルの迷宮 無数の中から選ぶ （岩沢宏和 著）
に載っていますね。
「自然数からランダムに２個の数を選んだとき」というだけでは前提不足だが、ｎ以下の自然
数から選ぶときの確率の極限値としてなら・・・・というような記述があります。
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２５年１月５日付け）
整数から任意の数を取り出し、２つの正方行列を作る。
例 Ｍ1＝|1 2| Ｍ2＝|-4 7|
|3 9|, |2 -6|
このとき、行列式 Ｍ1＝det(Ｍ1)=9-6=3、行列式Ｍ2＝det(Ｍ2)=(-4)*(-6)-7*2=10 となり、
２つの行列式の値が互いに素となっている。
そこで、一般にこうして作られる２つのn×n行列において（これをＸn，Ｙnと示す。）、
det(Xn)、det(Yn)が互いに素となる確率Ｐは、はたしてn→∞であるとき、いかなる値に収束し
ているか？
もちろん、X1、Y1での確率は、6/π2=0.6079… となります。
こんなものすごい極限値について調べ上げている人がいました。例のオンライン整数列大
辞典の中に潜んでいますので、探し出してみて下さい。