ｎを自然数とし、正しいさいころをｎ回投げる。そのとき、出る目の和がｍの倍数となる確
率をＰｎ（ｍ）とおく。
（１） ｎ＝２のとき、Ｐ2（３）の値を求めよ。
（２） ｎ＝４のとき、Ｐ4（３）の値を求めよ。
（答）（１） さいころを２回投げるので、目の和が３の倍数、すなわち、
目の和が３となる場合の数は、（１，２）、（２，１）の２通り
目の和が６となる場合の数は、（１，５）、・・・、（５，１）の５通り
目の和が９となる場合の数は、（３，６）、・・・、（６，３）の４通り
目の和が１２となる場合の数は、（６，６）の１通り
したがって、 Ｐ2（３）＝（２＋５＋４＋１）/３６＝１/３
（２） さいころを４回投げるので、目の和が３の倍数、すなわち、
目の和が６となる場合の数は、（１，１，１，３）、・・・、（３，１，１，１）
（１，１，２，２）、・・・、（２，２，１，１） の１０通り
目の和が９となる場合の数は、（１，１，１，６）、・・・、（６，１，１，１）
（１，１，２，５）、・・・、（５，２，１，１）、（１，１，３，４）、・・・、（４，３，１，１）
（１，２，２，４）、・・・、（４，２，２，１）、（１，２，３，３）、・・・、（３，３，２，１）
（２，２，２，３）、・・・、（３，２，２，２） の５６通り
目の和が１２となる場合の数は、（１，１，４，６）、・・・、（６，４，１，１）
（１，１，５，５）、・・・、（５，５，１，１）、（１，２，３，６）、・・・、（６，３，２，１）
（１，２，４，５）、・・・、（５，４，２，１）、（１，３，３，５）、・・・、（５，３，３，１）
（１，３，４，４）、・・・、（４，４，３，１）、（２，２，２，６）、・・・、（６，２，２，２）
（２，２，３，５）、・・・、（５，３，２，２）、（２，２，４，４）、・・・、（４，４，２，２）
（２，３，３，４）、・・・、（４，３，３，２）、（３，３，３，３） の１２５通り
目の和が１５となる場合の数は、（１，２，６，６）、・・・、（６，６，２，１）
（１，３，５，６）、・・・、（６，５，３，１）、（１，４，４，６）、・・・、（６，４，４，１）
（１，４，５，５）、・・・、（５，５，４，１）、（２，２，５，６）、・・・、（６，５，２，２）
（２，３，４，６）、・・・、（６，４，３，２）、（２，３，５，５）、・・・、（５，５，３，２）
（２，４，４，５）、・・・、（５，４，４，２）、（３，３，３，６）、・・・、（６，３，３，３）
（３，３，４，５）、・・・、（５，４，３，３）、（３，４，４，４）、・・・、（４，４，４，３） の１４０通り
目の和が１８となる場合の数は、（１，５，６，６）、・・・、（６，６，５，１）
（２，４，６，６）、・・・、（６，６，４，２）、（２，５，５，６）、・・・、（６，５，５，２）
（３，３，６，６）、・・・、（６，６，３，３）、（３，４，５，６）、・・・、（６，５，４，３）
（３，５，５，５）、・・・、（５，５，５，３）、（４，４，４，６）、・・・、（６，４，４，４）
（４，４，５，５）、・・・、（５，５，４，４） の８０通り
目の和が２１となる場合の数は、（３，６，６，６）、・・・、（６，６，６，３）
（４，５，６，６）、・・・、（６，６，５，４）、（５，５，５，６）、・・・、（６，５，５，５） の２０通り
目の和が２４となる場合の数は、（６，６，６，６） の１通り
したがって、
Ｐ4（３）＝（１０＋５６＋１２５＋１４０＋８０＋２０＋１）/１２９６＝４３２/１２９６＝１/３
（コメント） ｎ＝２のときも、ｎ＝４のときも、確率が １/３ と同じ値になるところが面白い。
ｎ＝３のときも計算してみたくなった。
さいころを３回投げるので、目の和が３の倍数、すなわち、
目の和が３となる場合の数は、（１，１，１） の１通り
目の和が６となる場合の数は、
（１，１，４）、・・・、（４，１，１）、（１，２，３）、・・・、（３，２，１）、（２，２，２） の１０通り
目の和が９となる場合の数は、（１，２，６）、・・・、（６，２，１）、（１，３，５）、・・・、（５，３，１）
（１，４，４）、・・・、（４，４，１）、（２，２，５）、・・・、（５，２，２）、（２，３，４）、・・・、（４，３，２）
（３，３，３） の２５通り
目の和が１２となる場合の数は、（１，５，６）、・・・、（６，５，１）、（２，４，６）、・・・、（６，４，２）
（２，５，５）、・・・、（５，５，２）、（３，３，６）、・・・、（６，３，３）、（３，４，５）、・・・、（５，４，３）
（４，４，４） の２５通り
目の和が１５となる場合の数は、（３，６，６）、・・・、（６，６，３）、（４，５，６）、・・・、（６，５，４）
（５，５，５） の１０通り
目の和が１８となる場合の数は、（６，６，６） の１通り
したがって、 Ｐ3（３）＝（１＋１０＋２５＋２５＋１０＋１）/２１６＝７２/２１６＝１/３
やはり、ｎ＝３のときも、確率は １/３ と同じ値になった！
因みに、ｎ＝１のときは、Ｐ1（３）＝２/６＝１/３ で、やはり確率は １/３
もしかして、目の和が３の倍数になるのは、さいころを投げる回数に関係なく、常に、確率
は １/３ なのかな？
ここで興味ある解法がある。
Ｐ2（３）＝Ｐ3（３）＝Ｐ4（３）＝１/３ では、該当する場合を全て列挙して確率を求めたが、
次のように確率を計算してもよい。
ｎ−１回までの目の和が何であっても、ｎ回目にさいころを投げて目の和が３の倍数になる
ためには、３を法として、
ｎ−１回までの目の和≡０ → ｎ回目のさいころの目は、３ または ６の２通り
ｎ−１回までの目の和≡１ → ｎ回目のさいころの目は、２ または ５の２通り
ｎ−１回までの目の和≡２ → ｎ回目のさいころの目は、１ または ４の２通り
なので、上記のような大変な計算をしなくても、 Ｐ4（３）＝２/６＝１/３ であることが分かる。
一般に、全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（３）＝１/３ であることが言える。
ここで、Ｐ1（２）＝１/２、Ｐ1（３）＝１/３、Ｐ1（４）＝１/６、Ｐ1（５）＝１/６、Ｐ1（６）＝１/６、
Ｐ2（７）＝６/３６＝１/６、Ｐ2（８）＝５/３６、Ｐ2（９）＝４/３６＝１/９、Ｐ2（１０）＝３/３６＝１/１２、
Ｐ2（１１）＝２/３６＝１/１８、Ｐ2（１２）＝１/３６、・・・
さて、さいころを２回投げて、目の和が２の倍数となる場合は、
（１，１）、（１、，３）、（１，５）、（２，２）、（２，４）、（２，６）、（３，１）、（３、，３）、（３，５）、
（４，２）、（４，４）、（４，６）、（５，１）、（５、，３）、（５，５）、（６，２）、（６，４）、（６，６）
の１８通りで、確率は、Ｐ2（２）＝１８/３６＝１/２ すなわち、 Ｐ2（２）＝１/２
次に、さいころを２回投げて、目の和が６の倍数となる場合は、
（１，５）、（２，４）、（３，３）、（４，２）、（５，１）、（６，６） の６通りで、確率は、Ｐ2（６）＝１/６
などから、全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（２）＝１/２ 、Ｐｎ（６）＝１/６ であることが
予想されるが、実際に正しい。
ｎ−１回までの目の和が何であっても、ｎ回目にさいころを投げて目の和が２の倍数になる
ためには、２を法として、
ｎ−１回までの目の和≡０ → ｎ回目のさいころの目は、２ 、４ 、６の３通り
ｎ−１回までの目の和≡１ → ｎ回目のさいころの目は、１ 、３ 、５の３通り
なので、全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（２）＝１/２ である
同様に、ｎ−１回までの目の和が何であっても、ｎ回目にさいころを投げて目の和が６の倍
数になるためには、６を法として、
ｎ−１回までの目の和≡０ → ｎ回目のさいころの目は、６の１通り
ｎ−１回までの目の和≡１ → ｎ回目のさいころの目は、５の１通り
ｎ−１回までの目の和≡２ → ｎ回目のさいころの目は、４の１通り
ｎ−１回までの目の和≡３ → ｎ回目のさいころの目は、３の１通り
ｎ−１回までの目の和≡４ → ｎ回目のさいころの目は、２の１通り
ｎ−１回までの目の和≡５ → ｎ回目のさいころの目は、１の１通り
なので、全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（６）＝１/６ である
また、Ｐ1（４）＝１/６、Ｐ1（５）＝１/６ から、全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（４）＝１/４、
Ｐｎ（５）＝１/５ は言えそうにないようだ。
ｋｓさんからのコメントです。（令和３年９月１５日付け）
目の和の倍数で考えると、サイコロの個数にかかわらず一定になることが、不思議で感激
しました。目の数を変えたり、四面体サイコロでも、同じような結果になるのでしょうか？
ｋｓさんからのコメントです。（令和３年９月１６日付け）
サイコロ三個の場合、目の和が４の倍数になるのは、５５通りありますが、間違いですか？
（追記） 令和３年９月１６日付け
Ｐ1（４）＝１/６で、全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（４）＝１/４ は言えなさそうとなったが、
ある特定のｎの値に対して、もしかしたら Ｐｎ（４）＝１/４ となる場合があるのでは？と考え
いろいろ計算してみた。
さいころを２回投げて、目の和が４の倍数になる場合は、
（１，３）、（２，２）、（３，１）、（２，６）、（３，５）、（４，４）、（５，３）、（６，２）、（６，６） の９通り
あるので、確率は、Ｐ2（４）＝９/３６＝１/４ となる。
このことから、ｎ＝２の場合は、 Ｐｎ（４）＝１/４ が成り立つ。他はどうだろうか？
ｎ＝３のとき、さいころを３回投げるので、目の和が４の倍数、すなわち、
目の和が４となる場合の数は、（１，１，２） ・・・ （２，１，１） の３通り
目の和が８となる場合の数は、（１，１，６） ・・・ （６，１，１）、（１，２，５） ・・・ （５，２，１）、
（１，３，４） ・・・ （４，３，１）、（２，２，４） ・・・ （４，２，２）、（２，３，３） ・・・ （３，３，２）
の２１通り
目の和が１２となる場合の数は、（１，５，６） ・・・ （６，５，１）、（２，４，６） ・・・ （６，４，２）、
（２，５，５） ・・・ （５，５，２）、（３，３，６） ・・・ （６，３，３）、（３，４，５） ・・・ （５，４，３）、
（４，４，４） の２５通り
目の和が１６となる場合の数は、（４，６，６） ・・・ （６，６，４）、（５，５，６） ・・・ （６，５，５）
の６通り
したがって、 Ｐ3（４）＝（３＋２１＋２５＋６）/２１６＝５５/２１６
さいころを４回投げるので、目の和が４の倍数、すなわち、
目の和が４となる場合の数は、（１，１，１，１） の１通り
目の和が８となる場合の数は、（１，１，１，５）、・・・、（５，１，１，１）、
（１，１，２，４）、・・・、（４，２，１，１）、（１，１，３，３）、・・・、（３，３，１，１）
（１，２，２，３）、・・・、（３，２，２，１）、（２，２，２，２） の３５通り
目の和が１２となる場合の数は、（１，１，４，６）、・・・、（６，４，１，１）、
（１，１，５，５）、・・・、（５，５，１，１）、（１，２，３，６）、・・・、（６，３，２，１）、
（１，２，４，５）、・・・、（５，４，２，１）、（１，３，３，５）、・・・、（５，３，３，１）、
（１，３，４，４）、・・・、（４，４，３，１）、（２，２，２，６）、・・・、（６，２，２，２）、
（２，２，３，５）、・・・、（５，３，２，２）、（２，２，４，４）、・・・、（４，４，２，２）、
（２，３，３，４）、・・・、（４，３，３，２）、（３，３，３，３） の１２５通り
目の和が１６となる場合の数は、（１，３，６，６）、・・・、（６，６，３，１）、
（１，４，５，６）、・・・、（６，５，４，１）、（１，５，５，５）、・・・、（５，５，５，１）、
（２，２，６，６）、・・・、（６，６，２，２）、（２，３，５，６）、・・・、（６，５，３，２）、
（２，４，４，６）、・・・、（６，４，４，２）、（２，４，５，５）、・・・、（５，５，４，２）、
（３，３，４，６）、・・・、（６，４，３，３）、（３，３，５，５）、・・・、（５，５，３，３）、
（３，４，４，５）、・・・、（５，４，４，３）、（４，４，４，４） の１２５通り
目の和が２０となる場合の数は、（２，６，６，６）、・・・、（６，６，６，２）、
（３，５，６，６）、・・・、（６，６，５，３）、（４，４，６，６）、・・・、（６，６，４，４）、
（４，５，５，６）、・・・、（６，５，５，４）、（５，５，５，５） の３５通り
目の和が２４となる場合の数は、（６，６，６，６） の１通り
したがって、
Ｐ4（４）＝（１＋３５＋１２５＋１２５＋３５＋１）/１２９６＝３２２/１２９６＝１６１/６４８
ｎ＝３、４については、 Ｐｎ（４）＝１/４ は成り立たない。
別の見方でも再計算してみよう。
ｎ−１回までの目の和に対して、ｎ回目にさいころを投げて目の和が４の倍数になる場合を
考えると、４を法として、
ｎ−１回までの目の和≡０ → ｎ回目のさいころの目は、４の１通りで、確率は、１/６
ｎ−１回までの目の和≡１ → ｎ回目のさいころの目は、３の１通りで、確率は、１/６
ｎ−１回までの目の和≡２ → ｎ回目のさいころの目は、２、６の２通りで、確率は、１/３
ｎ−１回までの目の和≡３ → ｎ回目のさいころの目は、１、５の２通りで、確率は、１/３
である。このとき、確率の乗法定理により、
Ｐ2（４）＝（１/６）（１/６）＋（１/３）（１/６）＋（１/３）（１/３）＋（１/６）（１/３）＝１/４
Ｐ3（４）＝（１/４）（１/６）＋（２/９）（１/６）＋（１/４）（１/３）＋（５/１８）（１/３）＝５５/２１６
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
以上から、３以上の自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（４）≠１/４ であるような雰囲気である。
（追記） 令和３年９月１８日付け
さいころを２回投げて、目の和が５の倍数となる場合は、
（１，４）、（２，３）、（３，２）、（４，１）、（４，６）、（５，５）、（６，４） の７通りあるので、
確率は、Ｐ2（５）＝７/３６ で、Ｐ1（５）＝１/６ と合わせて、やはり、全ての自然数ｎに対して
Ｐｎ（５）＝１/５ は言えなさそうである。
実は、さいころをｎ回投げて、目の和が５の倍数となる確率Ｐｎ（５）は、
ｎが５の倍数でないとき、 （１−（１/６）n）/５
ｎが５の倍数のとき、 （１＋４・（１/６）n）/５
であることが知られている。
上記の公式を用いると、
Ｐ1（５）＝（１−(１/６)）/５＝１/６
Ｐ2（５）＝（１−(１/３６)）/５＝７/３６
と直ぐ求められる。これらは上記の計算結果と一致する。
それでは、実際に、公式を証明してみよう。
（証明） さいころをｎ回投げたときの目の和を、Ｓｎ＝ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ とおく。
５を法として、 ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡０ のとき、Ｓｎ≡０となる確率は、１/６
ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡１ のとき、Ｓｎ≡０となる確率は、１/６
ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡２ のとき、Ｓｎ≡０となる確率は、１/６
ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡３ のとき、Ｓｎ≡０となる確率は、１/６
ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡４ のとき、Ｓｎ≡０となる確率は、１/６
なので、ａｎ＜６ で、Ｓｎ≡０となる確率は、１/６
次に、 ａｎ＝６で、ａｎ-1＜６のとき、Ｓｎ-1≡１となる確率は、１/６なので、Ｓｎ≡０ となる
確率は、（１/６）×（１/６）＝（１/６）2 となる。
以下同様にして、
ａｎ＝６、・・・、ａｋ+1＝６、ａｋ＜６のとき、Ｓｎ≡０となる確率は、（１/６）n-k+1
したがって、これらをすべて加えて、１/６＋（１/６）2＋・・・＋（１/６）n＝（１−（１/６）n）/５
また、ａｎ＝６、・・・、ａ1＝６のとき、Ｓｎ≡０となるのは、ｎ≡０ のときで、確率は、（１/６）n
以上から、ｎが５の倍数でないとき、Ｓｎ≡０となる確率は、（１−（１/６）n）/５
ｎが５の倍数のとき、 （１−（１/６）n）/５＋（１/６）n＝（１＋４・（１/６）n）/５ （証終）
このことから、全ての自然数ｎに対して、 Ｐｎ（５）≠１/５ であると言える。
（追記） 令和３年９月１９日付け
さいころを２回投げて、目の和が７の倍数となる場合は、
（１，６）、（６，１）、（２，５）、（５，２）、（３，４）、（４，３） の６通りで、
確率は、Ｐ2（７）＝１/６ となる。
さいころを３回投げて、目の和が７の倍数、すなわち、
目の和が７となる場合の数は、（１，１，５） ・・・ （５，１，１）、（１，２，４） ・・・ （４，２，１）、
（１，３，３） ・・・ （３，３，１）、（２，２，３） ・・・ （３，２，２） の１５通り
目の和が１４となる場合の数は、（２，６，６） ・・・ （６，６，２）、（３，５，６） ・・・ （６，５，３）、
（４，４，６） ・・・ （６，４，４）、（４，５，５） ・・・ （５，５，４） の１５通り
よって、 Ｐ3（７）＝（１５＋１５）/２１６＝５/３６
以上から、やはり、 Ｐｎ（７）＝１/７ は言えそうにない雰囲気。
実は、さいころをｎ回投げて、目の和が７の倍数となる確率Ｐｎ（７）は、
（１−（−１/６）n-1）/７
であることが知られている。
上記の公式を用いると、
Ｐ2（７）＝（１−（−１/６））/７＝１/６ 、Ｐ3（７）＝（１−(１/３６)）/７＝５/３６
と直ぐ求められる。これらは上記の計算結果と一致する。
それでは、実際に、公式を証明してみよう。
（証明） さいころをｎ回投げたときの目の和を、Ｓｎ＝ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ とおく。
７を法として、 ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡０ のときは、
ａｎが何であっても、Ｓｎ≡０とはなり得ない。
ａ1＋ａ2＋・・・＋ａｎ-1≡ｋ （ｋ＝１、２、３、４、５、６） のときは、
ａｎ＝７−ｋ であれば、Ｓｎ≡０となり得る。
よって、漸化式 Ｐ1（７）＝０、 Ｐｎ（７）＝（１−Ｐｎ-1（７））・（１/６） が成り立つ。
これを解いて、 Ｐｎ（７）＝（１−（−１/６）n-1）/７ が言える。 （証終）
このことから、全ての自然数ｎに対して、 Ｐｎ（７）≠１/７ であると言える。
（追記） 令和３年９月２５日付け
さいころを２回投げて、目の和が８の倍数となる場合は、
（２，６）、（３，５）、（４，４）、（５，３）、（６，２） の５通りで、
確率は、Ｐ2（８）＝５/３６ となる。
さいころを３回投げて、目の和が８の倍数、すなわち、
目の和が８となる場合の数は、（１，１，６） ・・・ （６，１，１）、（１，２，５） ・・・ （５，２，１）、
（１，３，４） ・・・ （４，３，１）、（２，２，４） ・・・ （４，２，２）、（２，３，３） ・・・ （３，３，２）
の２１通り
目の和が１６となる場合の数は、（４，６，６） ・・・ （６，６，４）、（５，５，６） ・・・ （６，５，５）
の６通り
よって、 Ｐ3（８）＝２７/２１６＝１/８
以上から、Ｐｎ（８）＝１/８ となるｎの値として、ｎ＝３が見いだされた。
他にもあるのだろうか？
（追記） 令和３年１２月３１日付け
上記の計算でから、
全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（２）＝１/２ である
全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（３）＝１/３ である
全ての自然数 ｎ に対して、 Ｐｎ（６）＝１/６ である
Ｐ2（４）＝１/４ で、３以上の自然数 ｎ に対して、Ｐｎ（４）≠１/４（予想）
全ての自然数ｎに対して、 Ｐｎ（５）≠１/５ である
全ての自然数ｎに対して、 Ｐｎ（７）≠１/７ である
Ｐ3（８）＝１/８
このことについて、数学セミナー’２２ １月号 「エレガントな解答を求む」（日本評論社）で、
次のように調べられている。
ｍ＝２、３、６ に対して、 Ｐｎ（ｍ）＝１/ｍ
ｍ＝５、７ に対して、 Ｐｎ（ｍ）≠１/ｍ
ｍ＝４ に対して、ｎ≡２ （ｍｏｄ ４） のとき、 Ｐｎ（４）＝１/４
（追記） 令和４年１月７日付け
さいころを２回投げて目の和が４の倍数になる確率は、上記で計算したように １/４ である。
それは、起こり得る場合が３６通りあり、目の和が４の倍数になる場合が９通りあるからであ
る。目の和が４になる場合が３通り、目の和が８になる場合が５通り、目の和が１２になる場
合が１通りという計算は、
（１，３）、（２，２）、（３，１）、（２，６）、（３，５）、（４，４）、（５，３）、（６，２）、（６，６）
と、該当の場合を列挙してもよいが、母関数の考え方を用いても求められる。
２つのさいころの目の和ｋは、母関数 (ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2 の展開式のｘkの係数で考察
される。
(ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2＝ｘ2+2ｘ3+3ｘ4+4ｘ5+5ｘ6+6ｘ7+5ｘ8+4ｘ9+3ｘ10+2ｘ11+1ｘ12
一般に、ｎ個のさいころを投げて、目の和がｋとなる場合の数は、
母関数 (ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)ｎ の展開式のｘkの係数
を見ればよいのであるが、展開せずに求める方法が知られている。
例えば、２つのさいころを投げて、目の和が４の倍数になる場合の数は、
母関数 Ｆ（ｘ）＝(ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)2 において、虚数単位 ｉ を用いて、
Ｆ（１）＝６2＝３６
Ｆ（−１）＝０
Ｆ（ｉ）＝(ｉ−１−ｉ＋１＋ｉ−１)2＝(ｉ−１)2＝−２ｉ
Ｆ（−ｉ）＝(−ｉ−１＋ｉ＋１−ｉ−１)2＝(−ｉ−１)2＝２ｉ
から、 （Ｆ（１）＋Ｆ（−１）＋Ｆ（ｉ）＋Ｆ（−ｉ））/４＝３６/４＝９ と求められる。
よって、ｎ個のさいころを投げて、目の和が４の倍数となる場合の数は、
母関数 Ｆ（ｘ）＝(ｘ+ｘ2+ｘ3+ｘ4+ｘ5+ｘ6)ｎ を用いて、
（Ｆ（１）＋Ｆ（−１）＋Ｆ（ｉ）＋Ｆ（−ｉ））/４
で求められる。ここで、
Ｆ（１）＝６ｎ
Ｆ（−１）＝０
Ｆ（ｉ）＝(ｉ−１−ｉ＋１＋ｉ−１)ｎ＝(ｉ−１)ｎ
＝｛
(ｃｏｓ（3π/4）+ｉ・ｓｉｎ（3π/4）｝ｎ＝（）ｎ｛ｃｏｓ（3ｎπ/4）+ｉ・ｓｉｎ（3ｎπ/4）｝Ｆ（−ｉ）＝(−ｉ−１＋ｉ＋１−ｉ−１)ｎ＝(−ｉ−１)ｎ
＝｛
(ｃｏｓ（-3π/4）+ｉ・ｓｉｎ（-3π/4）｝ｎ＝（）ｎ｛ｃｏｓ（3ｎπ/4）-ｉ・ｓｉｎ（3ｎπ/4）｝なので、
（Ｆ（１）＋Ｆ（−１）＋Ｆ（ｉ）＋Ｆ（−ｉ））/４＝｛６ｎ＋２（
）ｎｃｏｓ（3ｎπ/4）｝/４である。よって、求める確率は、
Ｐｎ（４）＝｛１＋２（
）ｎ/６ｎ・ｃｏｓ（3ｎπ/4）｝/４このとき、Ｐｎ（４）＝１/４ となるためには、 ｃｏｓ（3ｎπ/4）＝０ であることが必要十分で
ある。
ｎ＝４ｋ＋２ のときのみ、ｃｏｓ（3ｎπ/4）＝０ を満たすので、以上から、
ｎ＝４ｋ＋２ のとき、 Ｐｎ（４）＝１/４ が成り立つと言える。
以下、工事中！