当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成３１年３月６日付け）
１個のサイコロを３回投げて、出た目を順に ａ、ｂ、ｃ とする。２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０
の２つの解 z1、z2 を表す複素平面上の点をそれぞれP1(z1)、P2(z2)とする。
（１） P1とP2が一致する確率は？
（２） P1とP2が共に単位円上にある確率は？
（３） P1とOを通る直線をL1とし、P2とOを通る直線をL2とする。
L1、L2のなす鋭角が60°である確率は？
（答） 東北大学前期理系（２０１５）っぽい雰囲気で、これらは２０１９年度の問題なのだろう
か？単純に数え上げるだけの問題ですが．．．挑戦してみました。
起こりうる全ての場合の数は、 ６×６×６＝２１６（通り）
（１） P1とP2が一致するときは重解なので、その必要十分条件は、 ｂ2＝４ａｃ
ｂ＝１ のとき、 ４ａｃ＝１ で、解なし
ｂ＝２ のとき、 ａｃ＝１ で、（ａ，ｃ）＝（１，１） の１通り
ｂ＝３ のとき、 ４ａｃ＝９ で、解なし
ｂ＝４ のとき、 ａｃ＝４ で、（ａ，ｃ）＝（１，４）、（２，２）、（４，１） の３通り
ｂ＝５ のとき、 ４ａｃ＝２５ で、解なし
ｂ＝６ のとき、 ａｃ＝９ で、（ａ，ｃ）＝（３，３） の１通り
以上から、求める場合の数は、 １＋３＋１＝５（通り） で、その確率は、 ５/２１６
（２） P1とP2が共に単位円上にあるための必要十分条件を求める。
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ が実数解をもち、その解が単位円上にあるのは、
１が重解 、 −１が重解 、 ２つの解が１と−１
の何れかの場合である。
１が重解のとき、 ａ（ｘ−１）2＝０ であるが、ａ、ｂ、ｃは自然数なので起こりえない。
−１が重解のとき、 ａ（ｘ＋１）2＝０ で、 ａ*ｘ2＋２ａ*ｘ＋ａ＝０
すなわち、 ｂ＝２ａ 、ｃ＝ａ
このとき、（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，２，１）、（２，４，２）、（３，６，３） の３通り
２つの解が１と−１のとき、 ａ（ｘ＋１）（ｘ−１）＝０ であるが、ａ、ｂ、ｃは自然数なので起こ
りえない。
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ が虚数解をもち、その解が単位円上にあるとすると、
解は、 cosθ＋ｉ・ｓｉｎθ 、 cosθ−ｉ・ｓｉｎθ で、 解と係数の関係より、
２ｃｏｓθ＝−ｂ/ａ 、 １＝ｃ/ａ すなわち、 ｂ＝−２ａcosθ 、ｃ＝ａ （ｃｏｓθ≠±１）
このとき、 −２ａ＜ｂ＜２ａ に注意して、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）、（２，１，２）、（２，２，２）、（２，３，２）、（３，１，３）、（３，２，３）、
（３，３，３）、（３，４，３）、（３，５，３）、（４，１，４）、（４，２，４）、（４，３，４）、
（４，４，４）、（４，５，４）、（４，６，４）、（５，１，５）、（５，２，５）、（５，３，５）、
（５，４，５）、（５，５，５）、（５，６，５）、（６，１，６）、（６，２，６）、（６，３，６）、
（６，４，６）、（６，５，６）、（６，６，６）
の２７通り
よって、求める確率は、 （３＋２７）/２１６＝３０/２１６＝５/３６
（３） 題意を満たすためには、 ２つの解 z1、z2 は虚数で、互いに共役で、
z1＝（−ｂ＋ｉ・√（４ａｃ−ｂ2））/２ａ
ａｒｇ（z1）＝θ とおくと、題意より、 θ＝１２０°または １５０°の場合である。
θ＝１５０°の場合は、 √（４ａｃ−ｂ2） ： ｂ＝１ ： √３ で、 ｂ2＝３ａｃ
この式を満たす自然数 ａ、ｂ、ｃ は、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，３，３）、（２，６，６）、（３，３，１）、（３，６，４）、（４，６，３）、（６，６，２）
の６通り。
θ＝１２０°の場合は、 √（４ａｃ−ｂ2） ： ｂ＝√３ ： １ で、 ｂ2＝ａｃ
この式を満たす自然数 ａ、ｂ、ｃ は、
（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１）、（１，２，４）、（２，２，２）、（３，３，３）、（４，２，１）、（４，４，４）、
（５，５，５）、（６，６，６）
の８通りなので、求める確率は、（６＋８）/２１６＝１４/２１６＝７/１０８ （終）
（コメント） 解答を修正しました。ＧＡＩさん、ご指摘ありがとうございました。
ハンニバル・フォーチュンさんからのコメントです。（平成３１年３月１８日付け）
(２)について、以下のように考えましたが、大雑把にすぎるでしょうか？
α=x+iy 、β=x-iy とします。これらが、条件(x^2+y^2=1)のもとで、zについての二次方程
式 z^2+(b/a)z+(c/a)=0 の解であるわけです。
《 a,b,cについて条件(x^2+y^2=1)がどのように効いてきているかを探ります。》
αβ=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=1 ですから、解と係数との関係により、 (c/a)=αβ=1 です。
すなわち、a=c ならば、よさそうです。よって、求める確率は、 1/6 です。
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年３月１８日付け）
例えば、x^2+6x+1=0 の解は、x=-3±2√2 なので単位円上にありません。相異なる実数
解が解になってしまうとまずい(-1と1が解になることはないから)ので、必要十分条件は、
a=c かつ D≦0 すなわち a=c かつ b≦2a
となり、30/216=5/36 ではないでしょうか。
（a=c かつ D=0 のとき、重解は、x=-1 なので、単位円上にある）