当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年３月２４日付け）
袋の中に、白球6個、黒球3個が入っており、3個取りだす。そのうち、白球を ｘ 個とすると
き、復元抽出の場合と非復元抽出の場合でのそれぞれの確率を求めよ。
また、このときの期待値はどちらが大きいか。
（岡田泰栄 著 「数学ワンポイント双書35 平均値の統計 」45ｐの問題（改題））
（答） （復元抽出の場合）
ｘ＝０ ・・・ 3Ｃ0（１/３）3＝１/２７
ｘ＝１ ・・・ 3Ｃ1（２/３）（１/３）2＝６/２７＝２/９
ｘ＝２ ・・・ 3Ｃ2（２/３）2（１/３）＝１２/２７＝４/９
ｘ＝３ ・・・ 3Ｃ3（２/３）3＝８/２７
期待値は、 ０×（１/２７）＋１×（６/２７）＋２×（１２/２７）＋３×（８/２７）
＝５４/２７＝２
（非復元抽出の場合）
ｘ＝０ ・・・ 3Ｃ3/9Ｃ3＝１/８４
ｘ＝１ ・・・ 6Ｃ1・3Ｃ2/9Ｃ3＝１８/８４＝３/１４
ｘ＝２ ・・・ 6Ｃ2・3Ｃ1/9Ｃ3＝４５/８４＝１５/２８
ｘ＝３ ・・・ 6Ｃ3/9Ｃ3＝２０/８４＝５/２１
期待値は、 ０×（１/８４）＋１×（１８/８４）＋２×（４５/８４）＋３×（２０/８４）
＝１６８/８４＝２
期待値は、復元抽出・非復元抽出によらず同じである。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月２４日付け）
確率は二項分布と超幾何分布の通りなので、省略。期待値は、定義通りに計算しなくても、
どちらも２と分かります。復元抽出では1回あたり2/3個だから。
非復元抽出では、9個の球を、{3個組}と{6個組}に分けていると考えられるので、{3個組}の
組成の期待値は、白球は2個、黒球は1個と考えられるでしょう。
くじびきの原理というやつと同値ですね。当たりくじとハズレくじがあって、非復元抽出する時
1人目が当たりの確率＝2人目が当たりの確率＝3人目が...