剰余の定理７　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　整式ｆ（ｘ）をｇ（ｘ）＝ｘ³＋７ｘ²＋１４ｘ＋８ で割ると、余りが （２/３）ｘ²＋３ｘ＋７/３である。
　ｈ（ｘ）＝２２ｘ³＋３２ｘ²＋３　に対して、ｈ（ｆ（ｘ））をｇ（ｘ）で割った余りをｒ（ｘ）とする。

　下の問いに答えよ。

（１）　方程式ｒ（ｘ）＝０は異なる２つの解をもつことを示せ。
（２）　（１）の２つの解をα、βとするとき、α¹⁰＋β¹⁰の値を求めよ。

（出典：東京学芸大学　前期教育学部（２０２０））




































（答）　ｇ（ｘ）＝ｘ³＋７ｘ²＋１４ｘ＋８＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋４）　より、

　　ｆ（−１）＝０、ｆ（−２）＝−１、ｆ（−４）＝１

　よって、　ｒ（−１）＝ｈ（ｆ（−１））＝ｈ（０）＝３

　　　　　　ｒ（−２）＝ｈ（ｆ（−２））＝ｈ（−１）＝１３

　　　　　　ｒ（−４）＝ｈ（ｆ（−４））＝ｈ（１）＝５７

　ｒ（ｘ）は高々２次式なので、　ｒ（ｘ）＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ　とおける。

　このとき、　ａ−ｂ＋ｃ＝３　、　４ａ−２ｂ＋ｃ＝１３　、　１６ａ−４ｂ＋ｃ＝５７　より、

　　３ａ−ｂ＝１０　、６ａ−ｂ＝２２　を解いて、　ａ＝４　、ｂ＝２　、ｃ＝１

よって、　ｒ（ｘ）＝４ｘ²＋２ｘ＋１＝０　を解くと、　ｘ＝（−１±（√３）ｉ）/４　で、

確かに異なる２つの解をもつ。

（２）　α＝（−１＋（√３）ｉ）/４＝（１/２）（cos（２π/３）＋ｉ・ｓｉｎ（２π/３））

　　　β＝（−１−（√３）ｉ）/４＝（１/２）（cos（４π/３）＋ｉ・ｓｉｎ（４π/３））

　とおくと、ド・モアブルの定理より、

α¹⁰＝（１/２）¹⁰（cos（２π/３）＋ｉ・ｓｉｎ（２π/３））

β¹⁰＝（１/２）¹⁰（cos（４π/３）＋ｉ・ｓｉｎ（４π/３））

　よって、

α¹⁰＋β¹⁰

＝（１/２）¹⁰（−１＋（√３）ｉ）/２＋（１/２）¹⁰（−１−（√３）ｉ）/２＝−（１/２）¹⁰＝−１/１０２４