当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和元年６月１日付け）
ｎ が２以上の自然数のとき、
x^(n+1)-x^n-nx^2+(2n-1)x-(n-1)
は、(ｘ-1)^3 で割り切れることを証明せよ。(出典：近畿大学)
（答） 与式＝(ｘ-1)^2(ｘ^(n-1)+x^n+・・・+1-n)＝(ｘ-1)^3((n-2)次の多項式) と書けるので
明らか。
（別解） Ｆ(ｘ)＝x^(n+1)-x^n-nx^2+(2n-1)x-(n-1) とおくと、Ｆ(1)＝0
Ｆ’(ｘ)＝(n+1)x^n-nx^(n-1)-2nx+(2n-1) において、Ｆ’(1)＝0
Ｆ”(ｘ)＝n(n+1)x^(n-1)-n(n-1)x^(n-2)-2n において、Ｆ"(1)＝0
よって、Ｆ(ｘ)は、(ｘ-1)^3 で割り切れる。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年６月２日付け）
f(x)=x^(n+1)-x^n-nx^2+(2n-1)x-(n-1) とおく。
f(1)=1-1-n+(2n-1)-(n-1)=0 なので、f(x)は、(x-1)で割り切れ、f(x)=(x-1)g(x)とおける。
恒等式 (x-1)g(x)=x^(n+1)-x^n-nx^2+(2n-1)x-(n-1) の両辺をｘで微分すると、
g(x)+(x-1)g’(x)=(n+1)x^n-nx^(n-1)-2nx+(2n-1)
x=1を代入すると、 g(1)=(n+1)-n-2n+(2n-1)=0
従って、g(x)は、(x-1)で割り切れるので、g(x)=(x-1)h(x) とおけて、f(x)={(x-1)^2}h(x) となる。
恒等式 {(x-1)^2}h(x)=x^(n+1)-x^n-nx^2+(2n-1)x-(n-1) の両辺をxで微分すると、
2(x-1)h(x)+{(x-1)^2}h’(x)=(n+1)x^n-nx^(n-1)-2nx+(2n-1)
再度xで微分すると、
2h(x)+2(x-1)h’(x)+2(x-1)h’(x)+{(x-1)^2}h”(x)=n(n+1)x^(n-1)-n(n-1)x^(n-2)-2n
x=1を代入すると、 2h(1)=n(n+1)-n(n-1)-2n=0
従って、h(x)は、(x-1)で割り切れるので、h(x)=(x-1)i(x) とおけて、f(x)={(x-1)^3}i(x) となる。
よって、f(x)は、(x-1)^3で割り切れる。
# ちなみにもう一度同じことをやると、i(1)≠0 なので、(x-1)^4 では割り切れません。