当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和元年５月１５日付け）
多項式 F(x)=x^3+(a+4)x^2+2(a^2+11a+8)x+24 について、以下がそれぞれ成り立つように
整数 a の値を定めよ。
(1) x-2 で割り切れる
(2) 重根をもつ
（答） Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（令和元年５月１５日付け）
(1) a∈{-10,-2} [確認；(x-6) (x-2) (x+2),(x-2)^2 (x+6)]
(2) a=-2 [確認;(-2+x)^2 (6+x)]
特に取り上げる所以は?
（コメント） (1)は、F(2)=8+4(a+4)+4(a^2+11a+8)+24=4(a^2+12a+20)=0 より、 a=-2、-10
(2)の重解は、２重解と３重解の可能性があるが、計算が大変そう．．．。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（令和元年５月１７日付け）
F(x)= (x - x0)^2*(x - k) が恒等式になる x0 はたくさんあるが、そのうち、a が整数となる
のは、-2 のみ。
a=-2のとき、F(x)=(-2+x)^2 (6+x) で、そのグラフは、ｘ 軸と(2，0)で接し、(-6，0)で交わる。
また、F(x)=(x-x0)^3 が恒等式になる x0 は存在しない。
DD++さんからのコメントです。（令和元年５月１７日付け）
(2) 重根をもつ
って人力で20分以内くらい解く方法あるんでしょうかね。単純に重解条件を方程式にすると
５桁の係数がついた６次方程式になって、手詰まりですが．．．。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年５月１７日付け）
こういうのはどうでしょう。
F(x)=x^3+(a+4)x^2+2(a^2+11a+8)x+24 について、F’(x)=3x^2+2(a+4)x+2(a^2+11a+8)
F’(x)=0 が解を持たなければならないので、
D/4=(a+4)^2-6(a^2+11a+8)=-5a^2-58a-32≧0 より、 (-29-√681)/5≦a≦(-29+√681)/5
aは整数で、26^2＜681＜27^2 なので、 -11≦a≦-1
x^3+(a+4)x^2+2(a^2+11a+8)x+24=0 … (1) 、 3x^2+2(a+4)x+2(a^2+11a+8)=0 … (2)
このとき、{{(1)×3-(2)×x}×3-(2)×(a+4)}÷2 から、(5a^2+58a+32)x=a^3+15a^2+52a-76
よって、 x=(a^3+15a^2+52a-76)/(5a^2+58a+32)
（∵上の計算から、a が整数の時、 5a^2+58a+32≠0）
そこで、
F’((a^3+15a^2+52a-76)/(5a^2+58a+32))
=9(7a^6+234a^5+2767a^4+13056a^3+18152a^2+3488a+1584)/(5a^2+58a+32)^2
7a^6+234a^5+2767a^4+13056a^3+18152a^2+3488a+1584
≡2a^6+4a^5+2a^4+a^3+2a^2+3a+4 (mod 5)
であり、Ｇ(a)=2a^6+4a^5+2a^4+a^3+2a^2+3a+4 とおくと、
Ｇ(-2)=30 、Ｇ(-1)=2 、Ｇ(0)=4 、Ｇ(1)=18 、Ｇ(2)=314
となり、この中で、5で割り切れるものは、Ｇ(-2)のみなので、-11≦a≦-1 の中で、解になり
得るものは、 a=-2 、-7 の２つある。
しかし、定数項の 1584 は、7で割り切れないので、明らかに、a=-7 は解ではない。
a=-2 のとき、Ｆ(x)=(x+6)(x-2)^2 なので、重根をもつ整数 a は、a=-2 のみ。
DD++さんからのコメントです。（令和元年５月１７日付け）
なるほど、判別式から範囲を絞ることが可能でしたか。先にmodで計算して、さらに候補を
減らすのも上手いですね。勉強になりました。