整式の余り　　 　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年３月９日付け）

　ｘ の整式 Ｐ（ｘ）＝ｘ¹¹＋ｘ¹⁰＋ｘ⁹＋ｘ⁸＋ｘ⁷＋ｘ⁶＋ｘ⁵＋ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１ に対して、

　Ｐ(x²)、Ｐ(x³)、Ｐ(x⁴)、Ｐ(x⁵)、Ｐ(x⁶)、Ｐ(x⁷)、Ｐ(x⁸)、Ｐ(x⁹)、Ｐ(x¹⁰)、Ｐ(x¹¹)、Ｐ(x¹²)

を、それぞれ Ｐ(x)で割った余りについて調査したとき、ある法則が成立していくことを見つけ
出しました。

　そこで、質問です。上記の１１個の余りのうち、同じ余りとなるものがあります。それはどれ
とどれでしょう？

　また、余りが定数となるものはどれで、その定数はなんでしょう？
（計算ソフトを頼らぬ論理の展開をできたら示して欲しい）





























（答）　ＡＢＣＤＥＦさんが考察されました。（平成２６年３月９日付け）

　Ｒ＝Ｚ[x] ：整式全体、Ｓ＝Ｒ/(x¹²−１) ：x¹²−１で割った余りの整式全体、
　Ｔ＝Ｒ/Ｐ(x) ：Ｐ(x)で割った余りの整式全体　とおく。ここで、x¹²−１＝(x−１)Ｐ(x)　である。

　ＲからＳ、ＲからＴ、ＳからＴへの自然な全射がある。これらの写像で同一視して、Ｒの元を、
ＳあるいはＴの元ともみなす。

　問題は、Ｐ(x²)、Ｐ(x³)、Ｐ(x⁴)、Ｐ(x⁵)、Ｐ(x⁶)、Ｐ(x⁷)、Ｐ(x⁸)、Ｐ(x⁹)、Ｐ(x¹⁰)、Ｐ(x¹¹)、Ｐ(x¹²)
をＴの元とみたとき、どれが同じであるかを問うていることになる。

　Ｓにおいて、x¹²＝１　であるから、Ｓにおいて、例えば、

　Ｐ（ｘ⁵）＝ｘ⁵⁵＋ｘ⁵⁰＋ｘ⁴⁵＋ｘ⁴⁰＋ｘ³⁵＋ｘ³⁰＋ｘ²⁵＋ｘ²⁰＋ｘ¹⁵＋ｘ¹⁰＋ｘ⁵＋１
　　　　 ＝ｘ⁷＋ｘ²＋ｘ⁹＋ｘ⁴＋ｘ¹¹＋ｘ⁶＋ｘ＋ｘ⁸＋ｘ³＋ｘ¹⁰＋ｘ⁵＋１＝Ｐ(x)

　同様にして、　Ｐ(x)＝Ｐ(x⁵)＝Ｐ(x⁷)＝Ｐ(x¹¹)　が成り立つ。

　また、Ｐ(x²)＝Ｐ(x¹⁰)＝２(１＋x²＋x⁴＋x⁶＋x⁸＋x¹⁰)　、Ｐ(x³)＝Ｐ(x⁹)＝３(１＋x³＋x⁶＋x⁹)

　Ｐ(x⁴)＝Ｐ(x⁸)＝４(１＋x⁴＋x⁸)　、Ｐ(x⁶)＝６(１＋x⁶)　、Ｐ(x¹²)＝１２

　以上から、Ｔにおいて、Ｐ(x)＝Ｐ(x⁵)＝Ｐ(x⁷)＝Ｐ(x¹¹)＝０　である。

　Ｐ(x)は１１次式であり、上のＰ(x²)、Ｐ(x³)、Ｐ(x⁴)、Ｐ(x⁶)、Ｐ(x¹²)は、１０次以下であるから、
これらはすべて異なる。

　したがって、　Ｐ(x²)、Ｐ(x³)、・・・、Ｐ(x⁹)、Ｐ(x¹⁰)、Ｐ(x¹¹)、Ｐ(x¹²)　をＰ(x)で割った余りは、

　　Ｐ(x⁵)、Ｐ(x⁷)、Ｐ(x¹¹)は、０　　、Ｐ(x²)、Ｐ(x¹⁰)は、２(１＋x²＋x⁴＋x⁶＋x⁸＋x¹⁰)

　　Ｐ(x³)、Ｐ(x⁹)は、３(１＋x³＋x⁶＋x⁹)　　、Ｐ(x⁴)、Ｐ(x⁸)は、４(１＋x⁴＋x⁸)

　　Ｐ(x⁶)は、６(１＋x⁶)　　、Ｐ(x¹²)は、１２


（コメント）　直ぐに、Ｐ(x)で割るのではなくて、まず、x¹²−１で割った余りを考えるところがポ
　　　　　　イントですね。その後、x¹²−１＝(x−１)Ｐ(x)　という考え方でＰ（ｘ）による割り算の
　　　　　　余りが求められます。ＡＢＣＤＥＦさんに感謝します。

　「WolframAlpha」に計算させてみたら、Ｐ(x⁵)、Ｐ(x⁷)、Ｐ(x¹¹)は、綺麗にＰ(x)で割り切れてい
ました！例えば、

　Ｐ(x⁵)/Ｐ（ｘ）＝（ｘ⁴−ｘ³＋ｘ²−ｘ＋１）（ｘ⁸−ｘ⁶＋ｘ⁴−ｘ²＋１）（ｘ⁸−ｘ⁷＋ｘ⁵−ｘ⁴＋ｘ³−ｘ＋１）
　　　　　　　　　　（ｘ⁸＋ｘ⁷−ｘ⁵−ｘ⁴−ｘ³＋ｘ＋１）（ｘ¹⁶＋ｘ¹⁴−ｘ¹⁰−ｘ⁸−ｘ⁶＋ｘ²＋１）