当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年１１月４日付け）
最も小さい内角の大きさが120°でとなりあう内角の大きさが5°ずつ大きくなっている多
角形がある。この多角形は何角形ですか。
（答） よおすけさんより解答を頂きました。（平成２４年１１月５日付け）
この問題は、学研「パーフェクトコース 中学数学」のp．198の「えっ十六角形で正しい？」に
あった問題です。解答は、
求める多角形をn角形とすると、内角の和は、180(n-2)°・・・(1)
一方、内角の大きさは120°から5°ずつ大きくなっていることから、
120+(120+5)+(120+10)+・・・+(120+5(n-1))=120n+{(5n(n-1)/2}・・・(2)
(1)、(2)より、 180(n-2)=120n+{5n(n-1)/2} を解いて、n=9、16
n=9のとき、最大角は、120+5(9-1)=160°なので、そのまま解で、九角形
n=16のとき、最大角は、120+5(16-1)=195°であるが、途中に180°ができるので不適。
以上をまとめて、九角形が答となる。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１１月６日付け）
最小角が120°、最大角が195°だから途中の180°は直線となって角としては適さない。
よって正解は九角形だと思います。
（コメント） よおすけさんの解答だと、120°と160°が隣り合う角で、それは、5°という条件
に反するのではないでしょうか？疑問が残ります。私は次のように解きました。
頂点が２ｎ＋１個のとき、
（２ｎ−１）π＝２π/３＋｛２πｎ/３＋（π/３６）・ｎ（ｎ＋１）/２｝・２
これより、 ｎ2−２３ｎ＋６０＝０ を解いて、ｎ＝３、２０
ｎ＝２０ だと途中に１８０°が出現するので、不適。
よって、７角形が求めるものである。
頂点が２ｎ個のとき、
（２ｎ−２）π
＝２π/３＋｛２π（ｎ−１）/３＋（π/３６）・ｎ（ｎ−１）/２｝・２＋２π/３＋（π/３６）・ｎ
これより、 ｎ2−２４ｎ＋７２＝０ であるが、これを満たす自然解は存在しない。
以上から、求める図形は、７角形のみ。
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１１月６日付け）
ｎ角形の内角の和は、ｎによって異なる値になるが、外角の和は、どんなｎ角形でも360度
である。
(180-120)+(180-125)+(180-130)+ … +(180-A[n])=360 より、
{(180-120)-0}+{(180-120)-5}+{(180-120)-10}+ … +{(180-120)-5(n-1)}=360
60n-5(n-1)n/2=360 より、n2-25n+144=0 すなわち、 (n-9)(n-16)=0 より、n=9、,16
2次方程式は、内角版と同等だが、和を順に求めていく場合、
60 + 55 + 50 + … + 25 + 20=360
1 2 3 8 9角形
と計算できるので、外角の方が簡単になる。（個人的な感想）
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年１１月６日付け）
攻略法さん、ありがとうございます。外角の和の利用には気づきませんでした。内角で求
めるよりは簡単なのかもしれませんね。しかし、結局問題を満たす多角形は、パーフェクト
コース中学数学での答えと管理人さんの答えが分かれて収拾がつかなくなったという・・・。
自分が作った問題ではないから何とも言えませんが・・・。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１１月７日付け）
私も最初管理人さんのようなことを考えたのですが、管理人さんの解答のように七角形の
７つの角度（単位省略）が順に
120°125°130°135°135°130°125°
となっている場合、135°から見ると、「5°“大きく”なっている」とは言えず、しかも同じ角度
が連続していて、「となりあう内角の大きさが5°ずつ大きく」に反しますので、こちらが正解
とも言えないと思いました。
結局、「5°ずつ大きくなる」が、
片方向と考えれば、 120°125°130°135°140°145°150°155°160°
両方向と考えれば、 120°125°130°135°135°130°125°
であり、この曖昧な問題においてはどちらも正解で良いと思います。
（# ちなみに、私も最初外角で考えました。）
（コメント） 確かに、問題の条件が曖昧ですね。らすかるさんに感謝します。