動点の行方                                 戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (令和3年5月15日付け)

 平面上で、初めに座標の原点にあった動点Pが、x軸の正方向に1だけ進む。次に、進行
方向に向かって左へ30°だけ向きを変えて、1/2だけ進む。次に、進行方向を左へさらに30°
変えて、1/4だけ進む。以下同じように、進行方向へ30°ずつ変え、進む距離を前回の半分
にしていくとき、動点Pの極限の位置を求めよ。

(出典) 一橋大学(1967年)

(参考) 京都大学 前期理系(2021)の問題:無限級数の和 Σ[n=0,∞]{(1/2)^n(cos(nπ/6))}
    は、1つ上の問題の動点Pの極限の x の位置と一致します。



































(答) よおすけさんから解答をいただきました。(令和3年5月18日付け)

 以下、30°はπ/6(ラジアン)として略解。

 有向線分P[n]P[n+1]は有向線分P[n-1]P[n]の長さを半分にして、π/6回転したもので

あるが、これらの有向線分は複素数z[n+1]-z[n]、z[n]-z[n-1]に対応するから、z[0]=0として、

z[n+1]-z[n]={(1/2)e^(πi/6)}(z[n]-z[n-1])  (n=0、1、・・・)

よって、数列の{z[n]}の階差数列は、初項 z[1]-z[0]=1、公比 (1/2)e^(πi/6) の等比数列。

 z[n]=z[0]+{(1-{(1/2)e^(πi/6)}^n)/(1-(1/2)e^(πi/6))}

ここで、|(1/2)e^(πi/6)|=1/2 より、lim[n→∞]{(1/2)e^(πi/6)}^n=0

lim[n→∞]z[n]=1/(1-(1/2)e^(πi/6))={(14+3√3)/13}+i{(5+2√3)/13}

以上から、Pの極限の位置は、 ((14+3√3)/13,(5+2√3)/13)


(コメント) よおすけさん、解答ありがとうございます。解答の準備をしていたのですが、少し
      遅れてしまいました。

(別解) 題意より、点の座標は複素数 z=(+i)/2 (i は虚数単位) を用いて、

    1+z/2+(z/2)2+(z/2)3+・・・+(z/2)n-1+・・・

 これは、初項 1、公比 z/2 の無限等比級数である。

 第n部分和は、 (1−(z/2)n)/(1−(z/2)) で、n→∞ のとき、

 0≦|(z/2)n|=(1/2)n→0 から、 (z/2)n→0 と言える。

 よって、無限等比級数は収束し、その和は、

 1+z/2+(z/2)2+(z/2)3+・・・+(z/2)n-1+・・・=1/(1−(z/2))

ここで、

 1/(1−(z/2))=2/(2−z)=4/(4−−i)=(14+3+(5+2)i)/13

よって、求める動点Pの極限の位置は、 ((14+3)/13,(5+2)i/13)  (終)