当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年５月１５日付け）
平面上で、初めに座標の原点にあった動点Pが、x軸の正方向に1だけ進む。次に、進行
方向に向かって左へ30°だけ向きを変えて、1/2だけ進む。次に、進行方向を左へさらに30°
変えて、1/4だけ進む。以下同じように、進行方向へ30°ずつ変え、進む距離を前回の半分
にしていくとき、動点Pの極限の位置を求めよ。
（出典） 一橋大学（1967年）
（参考） 京都大学 前期理系（2021）の問題：無限級数の和 Σ[n=0,∞]{(1/2)^n(cos(nπ/6))}
は、1つ上の問題の動点Pの極限の x の位置と一致します。
（答） よおすけさんから解答をいただきました。（令和３年５月１８日付け）
以下、30°はπ/6（ラジアン）として略解。
有向線分P[n]P[n+1]は有向線分P[n-1]P[n]の長さを半分にして、π/6回転したもので
あるが、これらの有向線分は複素数z[n+1]-z[n]、z[n]-z[n-1]に対応するから、z[0]=0として、
z[n+1]-z[n]={(1/2)e^(πi/6)}(z[n]-z[n-1]) (n=0、1、・・・)
よって、数列の{z[n]}の階差数列は、初項 z[1]-z[0]=1、公比 (1/2)e^(πi/6) の等比数列。
z[n]=z[0]+{(1-{(1/2)e^(πi/6)}^n)/(1-(1/2)e^(πi/6))}
ここで、|(1/2)e^(πi/6)|=1/2 より、lim[n→∞]{(1/2)e^(πi/6)}^n=0
lim[n→∞]z[n]=1/(1-(1/2)e^(πi/6))={(14+3√3)/13}+i{(5+2√3)/13}
以上から、Pの極限の位置は、 ((14+3√3)/13，(5+2√3)/13)
（コメント） よおすけさん、解答ありがとうございます。解答の準備をしていたのですが、少し
遅れてしまいました。
（別解） 題意より、点の座標は複素数 ｚ＝（
＋ｉ）/２ （ｉ は虚数単位） を用いて、１＋ｚ/２＋（ｚ/２）2＋（ｚ/２）3＋・・・＋（ｚ/２）n-1＋・・・
これは、初項 １、公比 ｚ/２ の無限等比級数である。
第ｎ部分和は、 （１−（ｚ/２）n）/（１−（ｚ/２）） で、ｎ→∞ のとき、
０≦｜（ｚ/２）n｜＝（１/２）n→０ から、 （ｚ/２）n→０ と言える。
よって、無限等比級数は収束し、その和は、
１＋ｚ/２＋（ｚ/２）2＋（ｚ/２）3＋・・・＋（ｚ/２）n-1＋・・・＝１/（１−（ｚ/２））
ここで、
１/（１−（ｚ/２））＝２/（２−ｚ）＝４/（４−
−ｉ）＝（１４＋３＋（５＋２）ｉ）/１３よって、求める動点Pの極限の位置は、 （（１４＋３
）/１３，（５＋２）ｉ/１３） （終）