数の配列　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　４行４列のマス目の各マスに、数１、２、３、４の何れかを次の条件を満たすように書き込
む。

　（条件）　同じ数は同じ行、同じ列に２回以上現れない

　このとき、書き込みの方法は全部で何通りあるか？































（答）　４！×３！×（１＋２＋１）＝５７６（通り）

　実際に、まず、１行目の配列で、４！通りあり、そのうちの１通りに対して、２行目〜４行目

の１の配列は、３！通りある。そのうちの１通りが下図。

　４の入れ方で、２行１列目に入れる場合は、下図の１通り。

　４の入れ方で、２行３列目に入れる場合、

の２通りと、次の１通りがある。

　したがって、求める場合の数は、　４！×３！×（１＋２＋１）＝５７６（通り）


（追記）　同様の問題を作問してみました。（令和元年７月３０日付け）

　４行４列のマス目の各マスに、数１、２、３、４の何れかを書き入れ、縦、横、斜めとも和が
同じ数にする。ただし、同じ数は縦、横、斜めに２回以上現れないものとする。

　今、次のように書き込まれているとき、〇印にはどんな数字が入るか？

（答え）　〇印には、数字の２が入る。実際に、和は１０なので、次のように数字が書き入れ
　　　　られる。

（追記）　令和２年３月３日付け

　冒頭の問題が、令和２年度京都大学前期文理共通の第５問として出題されました。分野は、
数学Ａの「場合の数」で、予備校の評価としては、「やや難」に分類されるようです。

　上記の解の別解として、次のような解答も可能です。

（別解）　行・列の並べ替えを適宜行うことにより、第１行は左から順に、１、２、３、４、第１列
　　　　は上から順に１、２、３、４と出来るので、残り３×３のマス目を埋めればよい。

　第ｍ行第ｎ列目のマス目の数字を（ｍ，ｎ）で表す。

（１）　（２，２）＝１　のとき、　（２，３）＝４、（２，４）＝３　で、（３，２）＝４　と確定。
　　　このとき、（３，３）＝１、（３，４）＝２　または　（３，３）＝２、（３，４）＝１　で残りは確定。

（２）　（２，２）＝３　のとき、　（２，３）＝４、（２，４）＝１　で、（３，２）＝４　と確定。
　　　このとき、　（３，３）＝１、（３，４）＝２　で残りは確定。

（３）　（２，２）＝４　のとき、　（２，３）＝１、（２，４）＝３　で、（３，２）＝１　と確定。
　　　このとき、　（３，３）＝４、（３，４）＝２　で残りは確定

　以上から、　２＋１＋１＝４（通り）　で、その１通りに対して行の順列は４！通りあり、その
１通りに対して第１列以外の残り３列の順列は３！通りあるので、

　求める場合の数は、　４×４！×３！＝５７６（通り）　　（終）