一歩で、1段、2段、または、3段を登れる人が、7段の石段を登る。何通りの登り方がある
か。ただし、途中で下りたり足踏みしたりはしないものとする。
（参考：第10回 日本数学オリンピック予選問題（平成１２年））
（答） ｎ段の石を登る方法の数を、ａｎ通りとすると、帰納的に、
ａ1＝１、ａ2＝２、ａ3＝４、ａ4＝ａ3＋ａ2＋ａ1＝４＋２＋１＝７、
ａ5＝ａ4＋ａ3＋ａ2＝７＋４＋２＝１３、
ａ6＝ａ5＋ａ4＋ａ3＝１３＋７＋４＝２４、
ａ7＝ａ6＋ａ5＋ａ4＝２４＋１３＋７＝４４（通り）
一般には、次の漸化式が成り立つ。
ａ1＝１、ａ2＝２、ａ3＝４、ａｎ+3＝ａｎ+2＋ａｎ+1＋ａｎ
ところで、この漸化式を解いて一般項を求めることは可能だろうか？（→参考：「Ａ000073」）
「階段を上がる、下がる」と題して、ＧＡＩ さんから問題をいただきました。
（平成２８年４月１５日付け）
一歩で、1段、2段、または、3段を移動できる人が、7段の石段の上と下にいる。この２人
が同時に１回ずつ移動するとき、「２人が同時に同じ段に止まるような動き方」は何通りある
か？ただし、途中で逆行したり足踏みしたりはしないものとする。
また、一歩で4段までの移動が可能な２人の場合、20段の階段でなら何通りになるか？
（コメント） 7段の石段の場合を考えてみました。「7段の石段の上と下にいる」とのことなの
で、上の人は7段目の石段の上、下の人は地面の上にいるとして考えました。
一歩で、1段、2段、または、3段の移動を、それぞれＡ、Ｂ、Ｃとする。
２人が同時に２段目で止まるような動き方は、
（下の人の動き） ＡＡ （上の人） ＢＣ または ＣＢ ・・・ １×２＝２通り
２人が同時に３段目で止まるような動き方は、
（下の人の動き） ＡＡＡ （上の人） ＡＡＢ または ＡＢＡ または ＢＡＡ
・・・ １×３＝３通り
（下の人の動き） ＡＢ または ＢＡ （上の人） ＡＣ または ＣＡ または ＢＢ
・・・ ２×３＝６通り
２人が同時に４段目で止まるような動き方は、
（下の人の動き） ＡＡＢ または ＡＢＡ または ＢＡＡ （上の人） ＡＡＡ
・・・ ３×１＝３通り
（下の人の動き） ＡＣ または ＣＡ または ＢＢ （上の人） ＡＢ または ＢＡ
・・・ ３×２＝６通り
２人が同時に５段目で止まるような動き方は、
（下の人の動き） ＢＣ または ＣＢ （上の人） ＡＡ ・・・ ２×１＝２通り
以上から、求める場合の数は、 ２＋３＋６＋３＋６＋２＝２２（通り）
（あまり自信がありません。数え漏れがありそう．．．）
ａｔ さんからのコメントです。（平成２８年４月１５日付け）
7段の石段の場合、[x^7](1/(1-(x+x^2+x^3)^2))=22 通り
20段の石段の場合、[x^20](1/(1-(x+x^2+x^3+x^4)^2))=141977 通り
（コメント） ａｔ さんの結果と一致して安心しました。ａｔ さんに感謝します。