当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年６月２日付け）
A={1，2，3，4，5，6} とする。写像 f ：A → A のうちで、f をｎ回合成した写像を fn で表す
とき、f3、f6、f12 が恒等写像になるような f はそれぞれ何個あるか？
（答） ａｔ さんが考察されました。（平成２７年６月３日付け）
f3 が恒等写像になるような f は、6!・[x6](e^(x + x3/3))=81個
f6 が恒等写像になるような f は、6!*[x6](e^(x + x2/2 + x3/3 + x6/6))=396個
f12 が恒等写像になるような f は、6!*[x6](e^(x + x2/2 + x3/3 + x4/4 +x6/6 + x12/12))=576個
となると考えますが、どうでしょうか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年６月３日付け）
すべて正解です。f3 は、2*6Ｃ3*2!+1=81
f6 は、(81-1)+5!+6Ｃ3*3Ｃ2*2!+6Ｃ2*4Ｃ2*2Ｃ2/3!+6Ｃ2*4Ｃ2/2!+6Ｃ2+1=396
f12 は、(396-1)+2*6Ｃ4*3!+1=576
の意味での階段を登ろうの題目にしていました。こんな方法があるんですね。いや〜出題し
ておくもんですね。まったく予想外の解法に出会えます。
（階段どころかエレベーターで一気に登れます。）
最初、何の意味かが分からず、ポカンとしました。テイラー展開してみると、なんとｘ6の係数
にピタリといるではありませんか！自然対数の底eは、素晴らしい働きをする奴なんですね。
でも、未だになぜこれでいいのかが理解しきれていない。
ａｔさんはどうしてこれに気づかれたんですか？
これなら写像fが他の集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}に対するものであっても fn の任
意の合成写像が恒等写像になる f の個数でもお茶の子さいさいですね。いろいろ実験してみ
ようっと。
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年６月３日付け）
f6、f12 は多分階段を下った方が楽ですね。f12は、6!-6・4!=576、f6は、576-6Ｃ2・3!・2=396
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年６月４日付け）
すべての写像の総数から条件を満たさないものは５サイクルのみなので、6Ｃ5*(5-1)!=6*4!
なんですね。
イヤー階段は登るものばかりだと思い込んでいました。ものは考えよう。この自由な発想が
ホントに数学の面白い点です。目から鱗でした。
ａｔ さんからのコメントです。（平成２７年６月３日付け）
実をいうと、これらは私が自分で考えたものでは無いのです。これらの式の本質は、或る本
に書かれていることなのです。これらの式の意味を、私がGAIさんに説明できればよいのです
が、うまく説明する能力が私にはありません。ですので、その本「Analytic Combinatorics」を
ここで紹介するにとどめておくことにします。申し訳ありません。現在、この本の全てのページ
がダウンロード可能です。