当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年５月１８日付け）
町が碁盤の目の様な道路になっており、座標平面上の格子点を動く様に散歩するものと
する。
その人の座標が(a，b)で、
Mod(a+b,4)≡0→右へ1進む 、Mod(a+b,4)≡1→上へ1進む 、Mod(a+b,4)≡2→左へ1進む
Mod(a+b,4)≡3→下へ1進む
と進路をとって進むものとする。
この時、ある格子点Pから散歩し出した人が、この進路変更を9回繰り返したとき（合計10
単位長さ進む。）に格子点Q(0,10)に到着していたという。
さて、出発点に相当したPとして考えられる点は何処？
また、散歩コースの進み方を
Mod(a^3+b^3,4)≡0→右へ1進む 、Mod(a^3+b^3,4)≡1→上へ1進む 、
Mod(a^3+b^3,4)≡2→左へ1進む 、Mod(a^3+b^3,4)≡3→下へ1進む
にした場合に、点(0，0)から出発した人は何処まで遠くに進むことができるか？
（答） DD++さんが考察されました。（平成２８年９月２５日付け）
進路の取り方は、
右へ進んだら次は必ず上、
上へ進んだら次は必ず左、
左へ進んだら次は必ず上、
下へ進んだら次は必ず左
なので、(0,10)から仮に11回目の移動をするなら左なので、10回で(0,10)にたどり着くには、
「左上左上左上左上左上」 または 「右上左上左上左上左上」
の何れか、つまり、スタート地点は、(5,5) または (3,5)
後半の問題は、(0,0) から右上左（上右上右下右下右）×nと進んでいくので、右方向へ
どこまでも遠くへ移動していく。
（コメント） なるほど！進路の取り方のルールを整理すると単純になり考えやすくなりますね。
感動です。DD++さんに感謝します。