当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年５月１２日付け）
６個の玉を用いて、次の３つの並べ方で遊んだ。
(A) 一列に並べる。
(B) 円形に並べる。(円順列)
(C) ネックレスを作る。（数珠順列）
ただし、６個の玉に次のように色をそれぞれ施した。
<type1> 全て異なる色を彩色した。
<type2> ２色を用いて、３個ずつ同じ色に彩色した。
<type3> ３色を用いて、２個ずつ同じ色に彩色した。
この時、それぞれのタイプでの(A)、(B)、(C)はそれぞれ異なる並べ方が何通りできるか？
勿論、同じ色の玉は見分けがつかないものとする。
（ひたすら手作業で作っていったが、どうも見落としがある不安は拭えない。）
さらに、玉の数を倍にして、１２個とし、これを
<type1> 全て異なる色を彩色した。
<type2> ２色で６個ずつ塗り分け、２組とした。
<type3> ３色で４個ずつ塗り分け、３組とした。
<type4> ４色で３個ずつ塗り分け、４組とした。
<type5> ６色で２個ずつ塗り分け、６組とした。
とやってみたくなった。この時、作業(A)、(B)、(C)が余りにも多くどうも一日では終わりそうに
無い。これらの数を事前に求めてほしい。コンピュータの道具無しで算出できるなら、その方
法を教えてほしい。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２７年５月１２日付け）
★ ６個の場合
[type1] 一列：6!=720 、円形：5!=120 、数珠：5!/2=60
[type2] 一列：6C3=20 、
円形： 1個固定すると残りの並べ方は5C2=10通り。このうち1通りは120°回転対称形
残りの9通りは非対称形なので、3倍数えているから、9÷3+1=4通り。
数珠： これは少ないので全部列挙が早いですね。円形がaaabbb,aababb,aabbab,ababab
の4通りで、このうち、aababbとaabbabは裏返し形なので、3通り。
[type3] 一列：6C2×4C2=90
円形： 1個固定すると残りの並べ方は、5C2×3=30通り。このうち2通りは180°回転対
称形(abcabcとacbacb)、残りの28通りは非対称形で2倍数えているから、
28÷2+2=16通り。
数珠： 円形16通りのうち裏返して自分自身になるものは、abccbaのようなパターンで対
称線で3個ずつに分けられるものが、隣り合わないのがa,b,cのどれかでパターンが
決まるので、3通り。
abcacbのようなパターンで対称線上の対角線に同じ玉があるものが、対称線上
の玉の種類でパターンが決まるので3通り、残りの16-3-3=10通りは裏返して他の
形に変わるものなので、10÷2+3+3=11通り。
★ １２個の場合
[type1] 一列：12! 、円形：11! 、数珠：11!/2
[type2] 一列：12C6
円形： 1個固定すると残りの並べ方は11C5通り。このうち60°回転対称形が1通り、120°
回転対称形が、3C1-1=2通り（2倍数えている）、180°回転対称形が、5C2-1=9通
り（3倍数えている）、残りは非対称形（6倍数えている）
よって、(11C5-1-2-9)÷6+1+2÷2+9÷3=80通り。
数珠： 円形80通りのうち裏返して自分自身になるものは、対称線で6個ずつに分けられ
るものが、6C3÷2=10通り、対称線上に同じ玉があるものも、6C3÷2=10通り
よって、(80-10-10)÷2+10+10=50通り。
後は、面倒なのでプログラムで答えだけ。
[type3] 一列：34650 、円形：2896 、数珠：1493
[type4] 一列：369600 、円形：30804 、数珠：15402
[type5] 一列：7484400 、円形：623760 、数珠：312240
DD++さんが考察されました。（平成２７年５月１２日付け）
★ ６個の場合
<type1> 6種全て異なる
(A) 6!=720通り 、(B) 5!=120通り 、(C) 5!/2=60通り
<type2> 2種3個ずつ
(A) 6C3=20通り 、(B) 3回対称が1通りあるので、回転非対称は(20-2)/6=3通り、計4通り
(C) 3回対称は反転対称が1通り、回転非対称は反転対称が1通りなので反転非対称は、
(3-1)/2=1通り、計3通り
<type3> 3種2個ずつ
(A) 6!/2!2!2!=90通り 、
(B) 2回対称が2!=2通りあるので、回転非対称は(90-3×2)/6=14通り、計16通り
(C) 2回対称は反転非対称が2/2=1通り、回転非対称は反転対称が6通りなので反転非対
称は、(14-6)/2=4通り、計11通り
★ １２個の場合
[type1] 12個全て異なる
(A) 12!=479001600通り 、(B) 11!=39916800通り 、(C) 11!/2=19958400通り
<type2> 2種6個ずつ
(A) 12C6=924通り
(B) 6回対称が1通り、3回対称が(4C2-2)/4=1通り、2回対称が(6C3-2)/6=3通りあるので、
非対称は(924-2-4-6×3)/12=75通り、計80通り
(C) 6回対称は反転対称が1通り、3回対称は反転対称が1通り、2回対称は反転対称が1通
りと反転非対称が1通り、回転非対称は反転対称が、(5C2×2+6C3-3×2)/2=17通りあ
るので反転非対称は(75-17)/2=29通り、計50通り
<type3> 3種4個ずつ
(A) 12!/4!4!4!=34650通り
(B) 4回対称が2通り、2回対称が14通りあるので、非対称は(34650-3×2-6×14)/12=2880
通り、計2896通り
(C) 4回対称は反転非対称が1通り、2回対称は反転対称が6通りで反転非対称が4通り、回
転非対称は反転対称が、(5!/2!2!×3+6!/2!2!2!-6×2)/2=84通りあるので反転非対称は、
(2880-84)/2=1398通り、計1493通り
## 実は3種4個ずつの2回対称は3種2個ずつの回転非対称と同じ
<type4> 4種3個ずつ
(A) 12!/3!3!3!3!=369600通り
(B) 3回対称が3!=6通りあるので、非対称は(369600-4×6)/12=30798通り、計30804通り
(C) 30804/2=15402通り
<type5> 6種2個ずつ
(A) 12!/2!2!2!2!2!2!=7484400通り
(B) 2回対称が5!=120通りあるので、非対称は(7484400-6×120)/12=623640通り、
計623760通り
(C) 2回対称は反転非対称が60通り、回転非対称は反転対称が(5!×6+6!)/2=720通りある
ので反転非対称は、(623640-720)/2=311460通り、計312240通り