下図のように同じ大きさの立方体が８個積まれていて、５頂点 Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ を考える。
これらの頂点を結ぶ４本の直線 ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ の上に１点ずつ ４点を上手くとると、
平行四辺形が作れるという。 どのように４点を選んだらいいのだろうか？
（答） 線分ＯＡ、ＯＣ、ＯＤの中点をそれぞれ Ａ’、Ｃ’、Ｄ’ とすると、四角形 Ａ’ＢＣ’Ｄ’ が
求める平行四辺形となる。
中点連結の定理を意識すれば、それほどの困難さもなく平行四辺形を見つけることはで
きるだろう。
上記の問題では５点を指定しているが、もっと一般的に次の事実が成り立つ。
空間の１点 Ｏ を通る４直線で、どの３直線も同一平面上にはないものとする。
このとき、４直線の何れにも点 Ｏ 以外の点で交わる平面で、４つの交点が平行四辺
形の頂点になるものが存在する。
この事実を証明する問題が、平成２０年度入試 京都大学 理系（理・乙）で出題された。
ベクトルを用いて、上記の問題は次のように機械的に解かれる。
ＯＡ＝（ １ ， ０ ， ０ ） 、 ＯＢ＝（ １ ， −１ ， ０ ） 、
ＯＣ＝（ ０ ， −１ ， −１ ） 、 ＯＤ＝（ −１ ， １ ， −１ ）
とおくと、 ＯＡ＝２ＯＢ−ＯＣ＋ＯＤ が成り立つので、
ＯＡ＝２ＯＡ’ 、 ＯＣ＝２ＯＣ’ 、 ＯＤ＝２ＯＤ’
となるように、点Ａ’、Ｃ’、Ｄ’ を定めると、 ２ＯＡ’＝２ＯＢ−２ＯＣ’＋２ＯＤ’ から
Ｄ’Ａ’＝Ｃ’Ｂ が成り立ち、四角形 Ａ’ＢＣ’Ｄ’ は平行四辺形となる。
京都大学の入試問題も、１次独立な３つのベクトルで、残りのベクトルが線形結合で表さ
れることから同様に示される。解答は読者にまかせよう。