当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２８年３月３０日付け）
６個の数字 ０、１、２、６、７、８ と、２つの演算記号 ÷、＝ を下記の空所に補充して、
等式を作りたい。ただし、同じ文字には同じ数字、記号、異なる文字には異なる数字、記号
を用いるものとする。
ＡＢＣＤＥＡＦＧＨＡ
どのような等式ができるだろうか？
（答） Meltyさんが考察されました。（平成２８年３月３１日付け）
完全解答ではないのですが...。
(1) まず、2度以上出現している記号がAのみであり、かつ、記号が入れられない端に出現
しているので、 (何か)÷(何か)=(何か)÷(何か) とはならない。
したがって、記号「÷」と「=」は一度のみ出現する。
(2) (1)より、被除数の桁数、除数の桁数、商の桁数の総和は8。ここで、α桁の数をβ桁の
数で割ると、商の桁数は、(α-β)桁あるいは(α-β+1)桁である事に注意すると、被除
数は、4桁であることがわかる。
よって、求める等式の候補は、
i) ABCD÷AFG=A
ii) ABCD÷AF=HA
iii) ABCD÷A=GHA
iv) A=CDEA÷GHA
v) AB=DEAF÷HA
vi) ABC=EAFG÷A の6通り。
(3) 各々の検討
i) (除数)*(商)が4桁、かつ、共に最上位がAなので、Aの取りうる値は、6、7、8のどれかだ
が、繰り上がりを考慮しても被除数の最上位はAに届かない。
iii) 明らかに、商は4桁となり、適さない。
iv) A*GHA=CDEAと書き換えて、mod 10で考えると、A=6 のみ。(0や1では被除数が4桁に
ならない)
この時、十位には3繰り上がるので、E=1or7 なのだが、いずれも矛盾に突き当たる。
vi) i)と同様に、A=6or7or8
vi-i) A=6 のとき、6BC*6=E6FG だが、E=3 を得て矛盾。
vi-ii) A=7 のとき、7BC*7=E7FG 明らかに、千位へ繰り上がっているので、E=5 を得て矛盾
vi-iii) A=8のとき、8BC*8=E8FG 千位への繰り上がりは起こらず、E=6
一方、十位より4繰り上がっているので、B=5or6 だが、B≠E より、B=5 を得て矛盾
以上より、答の可能性は、
ii) ABCD÷AF=HA 、v) AB=DEAF÷HA
の2通り[理詰めではここまで]
ii)について、ABCD は、AFのおよそ100倍の数なので、Hは与えられた数の中でも大きいも
の、即ち、7や8だろうと考えて次の答を発見。
2016÷28=72 (A,B,C,D,E,F,G,H)=(2,0,1,6,÷,8,=,7,2)
他の解や、残されたv)の可能性についても、もう少し検討します。