当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＫＳ」さんからの出題です。
（平成２７年８月１３日付け）
３×３のマス目の中に、１、２、３の数字を入れていきます。縦と横に同じ数字が来ないよう
にします。斜めは可能です。手が詰まった方が負けです。すべて埋まるときは引き分けです。
先手と後手どちらが必勝でしょうか？
ちなみに、２×２のとき、同様なルールでやると後手必勝です。
どのような方針で解くことができるか、ご教授いただければ幸いです。
（コメント） 面白そうなので考えてみた。（平成２７年８月１５日付け）
決められた数字のどれを入れるかは自由として、「２×２のとき、同様なルールでやると後
手必勝」は、次のような手順でいいのでしょうか？
先手が任意のマス目に数字を入れたら、後手は、その対角線のマス目に入った数字とは
異なる数字を入れればよい。そのとき、先手は手詰まりとなり、後手必勝である。
３×３のときは、先手必勝のような気がする。
（先手勝の手順例） ３×３のマス目を（ｍ，ｎ） （ｍ、ｎ＝１、２、３） とする。
先手（１，１）のマス目に「１」→後手（２，２）のマス目に「１」→先（３，３）に「２」→後（１，２）に「２」
→先（３，２）に「３」→後（２，１）に「２」→先（２，３）に「３」 で後手手詰まり より、先手の勝
先手必勝を厳密に示すにはどうすればいいのだろう？
ＫＳさんより、上記の問題が解決した旨、メールでいただいた。（平成２７年９月４日付け）
全てを調べつくすことは大変なので場合分けをします。111、112(113)、122(133)、123の順
で記したとします。さらに、どの位置に記したかで場合分けをします。
先ず、111のとき、配置によって２通りで、
Ａ＝[｛1,0,0｝，｛0,1,0｝，｛0,0,1｝]、Ｂ＝[｛1,0,0｝，｛0,0,1｝，｛0,1,0｝]
引き分けになるのは、Ａ＝[｛1,2,3｝，｛3,1,2｝，｛2,3,1｝]、Ｂ＝[｛1,3,2｝，｛3,2,1｝，｛2,1,3｝]
（２と３が逆の場合も、引き分け）
Ａの場合、後手番の選択は、Ａ＝[｛1,2,0｝，｛0,1,0｝，｛0,0,1｝]、Ａ＝[｛1,0,2｝，｛0,1,0｝，｛0,0,1｝]
の２通り考えられ(または、2を3にする)、
前者は、[｛1,2,0｝，｛2,1,0｝，｛0,0,1｝]→[｛1,2,0｝，｛2,1,0｝，｛0,3,1｝]
→[｛1,2,3｝，｛2,1,0｝，｛0,3,1｝]または[｛1,2,0｝，｛2,1,3｝，｛0,3,1｝]
このとき、先手勝ちになる。
後者も、[｛1,0,2｝，｛0,1,0｝，｛0,0,1｝]→[｛1,0,2｝，｛0,1,0｝，｛2,0,1｝]
→[｛1,3,2｝，｛3,1,0｝，｛2,0,1｝]または[｛1,3,2｝，｛0,1,3｝，｛2,0,1｝]
このとき、先手勝ちになる。
Ｂの場合、後手番の選択は、
Ｂ＝[｛1,0,0｝，｛0,2,1｝，｛0,1,0｝]、Ｂ＝[｛1,2,0｝，｛0,0,1｝，｛0,1,0｝]、Ｂ＝[｛1,0,0｝，｛0,0,1｝，｛2,1,0｝]
Ｂ＝[｛1,0,0｝，｛0,0,1｝，｛0,1,2｝] の４通り考えられ(または、2を3にする)、
[｛1,0,0｝，｛0,2,1｝，｛0,1,0｝]→[｛1,0,0｝，｛0,2,1｝，｛0,1,2｝]
→[｛1,0,3｝，｛0,2,1｝，｛3,1,2｝]または[｛1,0,3｝，｛3,2,1｝，｛0,1,2｝]
このとき、先手勝ちになる。
[｛1,2,0｝，｛0,0,1｝，｛0,1,0｝]→[｛1,2,0｝，｛0,0,1｝，｛2,1,0｝]
→[｛1,2,0｝，｛0,3,1｝，｛2,1,3｝]または[｛1,2,0｝，｛3,0,1｝，｛2,1,3｝]
このとき、先手勝ちになる。
[｛1,0,0｝，｛0,0,1｝，｛2,1,0｝]→[｛1,2,0｝，｛0,0,1｝，｛2,1,0｝]
→[｛1,2,0｝，｛0,3,1｝，｛2,1,3｝]または[｛1,2,0｝，｛3,0,1｝，｛2,1,3｝]
このとき、先手勝ちになる。
[｛1,0,0｝，｛0,0,1｝，｛0,1,2｝]→[｛1,0,0｝，｛0,0,1｝，｛0,1,2｝]
→[｛1,3,0｝，｛3,2,1｝，｛0,1,2｝]または[｛1,0,3｝，｛0,2,1｝，｛3,1,2｝]
このとき、先手勝ちになる。
何れにしても、先手勝ち。したがって、111の条件であれば、先手必勝となる。
早計な、結論ですが、
「1〜ｎまでの数を、ｎ2の表に埋めるとして、制約条件として、縦横に同じ数は配置しないこと。
先に詰まった方が負けとする。ただし、すべて埋まった時は引き分けとする。」
このとき、ｎが偶数のときは、後手必勝、ｎが奇数のときは先手必勝という予感です。
更に、問題を面白くするために、１からｎの順番で埋めていくとする。このように単純化する
と、適当な数の大きさで対戦可能なので、子供たちが興味を持ってくれました。