Ｍｉｎｉｍｕｍ ９　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　４つの「４」を用いて自然数を作る問題は有名であろう。最近、Ｗｅｂを眺めていたら、
４つの「９」を用いて自然数を作るという問題を授業に取り入れている方がおられた。

　　豊岡市立竹野中学の吉岡久幸さんのＨＰ：「フォー･ナインズ？」

　　　　　＜問題＞　９が四個並んでいます。４個の９と適当な演算記号、√などを使って、
　　　　　　　　　　　０から３０までの自然数を考えてみましょう。

　　　　　　　　　　　　（使って良いもの）
　　　　　　　　　　　　　　１　四則演算　＋ − × ÷
　　　　　　　　　　　　　　２　かっこ　（　）
　　　　　　　　　　　　　　３　９を２つ並べて９９とする
　　　　　　　　　　　　　　４　平方根　√
　　　　　　　　　　　　　　５　小数点　．９
　　　　　　　　　　　　　　６　指数
　　　　　　　　　　　　　　７　階乗　９！ 　・・・・等

　吉岡先生のＨＰに触発されて、次のような問題を考えてみた。

問　題　　１、２、３、・・・　という数を、いくつかの演算といくつかの「９」を用いて表せ。

　　　　　ただし、用いる「９」の個数は最小限に抑えるものとする。

　　　　　　また、用いてもよい演算は次のものとする。

　　　　　　　　　１　四則演算： ＋ − × ÷
　　　　　　　　　２　かっこ　　：　（　）
　　　　　　　　　３　十進数 　：　９を並べて、例えば、９９、９９９、・・・　など
　　　　　　　　　４　累乗根　 ：　平方根√や３乗根、・・・など
　　　　　　　　　５　小数点　 ：　「．９」は、０．９を表すものと考える
　　　　　　　　　６　累乗　　　：　９⁹、・・・など
　　　　　　　　　７　階乗　　　：　９！、・・・など
　　　　　　　　　８　二重階乗：　９!!＝９・７・５・３・１＝９４５、・・・　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４!!＝４・２＝８、・・・　　など
　　　　　　　　　９　順列の数：　_ｎＰ_ｒ　、_ｎＨ_ｒ
　　　　　　　　１０　組合せ　 ：　_ｎＣ_ｒ
　　　　　　　　１１　Γ関数 　：　Γ（ｎ）＝（ｎ−１）！

　この問題を設定したのは、「２０１０」という数を何とか数学的に分解したかったからだ。

　当初想定した解は、　　２０１０＝｛（√９）！｝！×（＋＋）−（√９）！

　用いている「９」の個数は、５個。これは、ちょっと不満である。

しかし、二重階乗とΓ関数を用いると、　　２０１０＝９!!＋９!!＋Γ｛（√９）！｝

と書けることに気がついた。用いている「９」の個数は、３個。これには、満足かな？

　さて、２０１０年正月休みの一服に是非次の表を埋めてみませんか？

ただし、用いる「９」の個数は最小限にしてね．．．！

√｛（！）!!÷｝



（答）　計算式は一通りには定まらないが、一例をあげておきます。計算式を思いつかれた
　　　方、是非メールでご教示ください。

１	＝	Γ｛Γ（）｝	１８	＝	９＋９	３５	＝	９!!÷９÷
２	＝	Γ（）	１９	＝	√9Ｈ√9＋９	３６	＝	9ＣΓ（√９）
３	＝		２０	＝	Γ（！）÷！	３７	＝	√9Ｈ（√9）！＋９
４	＝	Γ（）＋Γ（）	２１	＝	９＋９＋	３８	＝	9ＣΓ（√９）＋Γ（）
５	＝	＋Γ（）	２２	＝	（！）!!÷＋！	３９	＝	9ＣΓ（√９）＋
６	＝	！	２３	＝	Γ（！）÷！＋	４０	＝	Γ（！）÷
７	＝	９−Γ（）	２４	＝	［√｛（！）!!÷｝］！	４１	＝	Γ（！＋）÷
８	＝	（！）!!÷！	２５	＝	（！）!!÷＋９	４２	＝	｛９−Γ（）｝×！
９	＝	９	２６	＝	Γ（！）÷！＋！	４３	＝	｛Γ（！）＋９｝÷
１０	＝	√9Ｈ√9	２７	＝	９×	４４	＝	（！）!!−Γ（）−Γ（）
１１	＝	９＋Γ（）	２８	＝	√9Ｈ（√9）！	４５	＝	９×（＋Γ（））
１２	＝	９＋	２９	＝	９×＋Γ（）	４６	＝	√9Ｈ9−９
１３	＝	√9Ｈ√9＋	３０	＝	９×＋	４７	＝	（！）!!−Γ｛Γ（）｝
１４	＝	９＋＋Γ（）	３１	＝	√9Ｈ（√9）！＋	４８	＝	（！）!!
１５	＝	９＋！	３２	＝	（！）!!÷×Γ（）	４９	＝	（！）!!＋Γ｛Γ（）｝
１６	＝	（！）!!÷	３３	＝	９×＋！	５０	＝	（√9）！Ｈ√9−！
１７	＝	９＋９−Γ｛Γ（）｝	３４	＝	9ＣΓ（√９）−Γ（）

(*)　「３６」はよおすけさんより、それ以外は、ほとんどらすかるさんより頂きました。（Ｈ２２．１．４）
　　５０までは、「９」が３個以下で書き表すことが出来ました！