当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年６月１２日付け）
Nを16桁の正整数とする。Nから連続する何桁かの数字を上手く取り出すと、必ずそれら
の積を平方数にできることを示して下さい。
また、平方数の出現回数が最少になる16桁の一つの例を示して下さい。
（答） DD++さんが考察されました。（平成２８年９月２６日付け）
もし、16桁の中に"0"があれば、そこを含むように取り出せば積は0で条件を満たします。
以下では"0"がない場合について考えます。
a[0]=1、a[n]=a[n-1]×「n桁目の数字」 (1≦n≦16) で定められる17個の数を考えます。
これらの数が素因数に含むのは、2、3、5、7 のみです。素因数分解したときの各素数に
対する指数の偶奇は、２4=16通りありますが、数は17個あるので、鳩ノ巣原理よりどれか
２つは偶奇が全て一致します。
a[ｘ]とa[ｙ] (ｘ＜ｙ) で偶奇が一致したとすると、a[ｙ]/a[ｘ] は各素数に対する指数が全て
偶数、つまり平方数です。つまり、ｘ+1桁目からｙ桁目までの積が平方数となります。
出現回数が最少の1回である一例は、1232523272325232