当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２６年２月４日付け）
自然数から構成された集合 Ｓ={a1，a2，a3，････} （a1＜a2＜a3＜････） において、任意
の ai+aj ( i≦j ) がすべて異なるように、集合Sをなるだけ小さい数で構成したい。
例 S={1，2} のとき、ai+aj=2、3、4 で重複しない。
S={1，2，3} のとき、ai+aj=2、3、4、4、5、6 で4が重複する。
そこで、S={1，2，4} のとき、ai+aj=2、3、4、5、6、8 で重複しない。
次に、S={1，2，4，5} のとき、ai+aj=2、3、4、5、6、8、6、7、9、10 で6が重複する。
そこで、S={1，2，4，6} のとき、ai+aj=2、3、4、5、6、8、7、8、10、12 で8が重複する。
そこで、S={1，2，4，7} のとき、ai+aj=2、3、4、5、6、8、8、9、11、14 で8が重複する。
そこで、S={1，2，4，8} のとき、ai+aj=2、3、4、5、6、8、9、10、12、16 で重複しない。
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このとき、Ｓの要素の個数が３０個であるものを探してください。
（答）
（コメント） 安直に考えて、S={1，2，4，8，・・・，229} が直ぐ思いつくのですが、これでは
「集合Sをなるだけ小さい数で構成したい。」の趣旨に反するということですね？
空舟さんからのコメントです。（平成２６年２月４日付け）
見た目よりかなり難問のように思いました。同じ数字を重複して足すのも許すわけですね。
サイト「オンライン整数列大辞典」で調べると、「A232234」ですね。この数列は「最大のペア
の和」をできるだけ最小にしたときのその最小値ということのようです。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年２月４日付け）
ルールがよくわからないのですが、要素が４つのもので最小は、{1，2，5，7} ではないので
すか？「最大の要素が最小」ですか？「合計が最小」ですか？それ以外ですか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年２月５日付け）
S=[1，2} の集合から出発して、次の要素を加えるときに3ではだめで4が最小のメンバー。
これから、新たに、S={1，2，4} の集合から出発して、次の要素を加入させるなら、最小は8
で、S={1，2，4，8} と進み、この新メンバーを加入させる時に最小の数という意味に解釈して
下さい。従って、次のメンバーは「9,10,11,12,･･･」の候補から最小を探し出すことになります。
※空舟さんとは異なるものを想定していました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年２月５日付け）
手作業で８項求めて検索したら、「A005282」が出てきました。
（コメント） S={1，2，4，8，13} であることを検証しました。
S={1，2，4，8} から出発して、「9,10,11,12,･･･」の中から条件を満たす最小の数を探し出す。
S={1，2，4，8，9} のとき、
ai+aj=2、3、4、5、6、8、9、10、12、16、10、11、13、17、18 で10が重複する。
S={1，2，4，8，10} のとき、
ai+aj=2、3、4、5、6、8、9、10、12、16、11、12、14、18、20 で12が重複する。
S={1，2，4，8，11} のとき、
ai+aj=2、3、4、5、6、8、9、10、12、16、12、13、15、19、22 で12が重複する。
S={1，2，4，8，12} のとき、
ai+aj=2、3、4、5、6、8、9、10、12、16、13、14、16、20、24 で16が重複する。
S={1，2，4，8，13} のとき、
ai+aj=2、3、4、5、6、8、9、10、12、16、14、15、17、21、26 で重複しない。
よって、 S={1，2，4，8，13} が求めるものである。
同様にして、 S={1，2，4，8，13，21}、S={1，2，4，8，13，21，31}、・・・ 等が求められる。
したがって、「A005282」によれば、ＧＡＩ さんの問題の解は、
S={1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290, 361,
401, 475, 565, 593, 662, 775, 822, 916, 970, 1016,1159, 1312}
となる。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年２月５日付け）
正解です。これを基に
S={1,2,4,8,13,21,31,45,66,81,97,123,148,182,204,252,291,324,352,415,486,
540,651,706,781,864,963,1003,1148,1217,1371,1409,1523,1673,1874}
の最小にはなりませんが、３５個の要素で同じように確認してみると驚くべきことが起こって
いました。（例外が１ヶ所発生する。）メンバーをもっと増やしていってもこの現象は同じよう
に起こせそうです。
とんくまさんからのコメントです。（平成２６年２月６日付け）
上記の S は、次のような重複が発生します。
ai + aj dup. count pair 1 pair 2
----------- ----------- -------------------------- --------------------------
1875 2 ai = 1, aj = 1874 ai = 352, aj = 1523
1895 2 ai = 21, aj = 1874 ai = 486, aj = 1409
1997 2 ai = 123, aj = 1874 ai = 324, aj = 1673
2022 2 ai = 148, aj = 1874 ai = 651, aj = 1371
最後の 1874を 1897に変更すれば、重複は無くなると思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年２月６日付け）
上記の S は、「A046185」から採用した集合でした。この中で重複するところがてっきり和
2022の部分しか気付かず、他の重複部分は見逃していました。とんくまさんの調査の様に、
改めて表を確認してみますとその部分がだぶっていますね。