全部で何人？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　生徒数がＮ人の学校では、生徒が５つのグループＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅに分かれ、重複するもの
はいないしグループの人数もすべて異なるという。各グループについて次のことが判明した。

　Ａの人数は、全体の５分の１より３人少ない。
　Ｂの人数は、Ａの人数の半分より４人多い。
　Ｃの人数は、Ａの人数より多い。
　Ｄの人数は、Ｃの人数の２倍である。
　Ｅの人数は、ＢとＣの人数の平均である。

　これらの情報を整理すると、生徒数Ｎが判明するという。一体何人なのだろうか？

（参考：筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編　「Ｃａｆｅ　Ｂｏｌｌｗｅｃｋ　Ｎｏ．�Z」）































（答）　条件より、　Ａ＝Ｎ/５−３　、Ｂ＝Ａ/２＋４　、Ｃ＞Ａ　、Ｄ＝２Ｃ　、Ｅ＝（Ｂ＋Ｃ）/２

　Ｎは５の倍数なので、　Ｎ＝５Ｎ’とおける。このとき、

　　Ａ＝Ｎ’−３　、Ｂ＝Ｎ’/２＋５/２　、Ｃ＞Ａ　、Ｄ＝２Ｃ　、Ｅ＝Ｎ’/４＋Ｃ/２＋５/４

　Ｎ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ　なので、

　　５Ｎ’＝（Ｎ’−３）＋（Ｎ’/２＋５/２）＋Ｃ＋２Ｃ＋（Ｎ’/４＋Ｃ/２＋５/４）

　よって、　１３Ｎ’/４＝７Ｃ/２＋３/４　より、　１３Ｎ’＝１４Ｃ＋３

　ここで、　１３×（−３）＝１４×（−３）＋３　なので、　１３（Ｎ’＋３）＝１４（Ｃ＋３）

　１３と１４は互いに素なので、　Ｎ’＋３＝１４Ｔ　（Ｔは自然数）　とおける。

　このとき、　Ｃ＋３＝１３Ｔ　となる。

　以上から、　Ｎ’＝１４Ｔ−３　で、

　Ａ＝１４Ｔ−６　、Ｂ＝７Ｔ＋１　、Ｃ＝１３Ｔ−３　、Ｄ＝２６Ｔ−６　、Ｅ＝１０Ｔ−１

　Ｃ＞Ａ　より、　１３Ｔ−３＞１４Ｔ−６　　よって、　１≦Ｔ＜３

　Ｔは自然数なので、　Ｔ＝１、２

　Ｔ＝１　のとき、　Ａ＝Ｂ＝８　となり、条件に反する。

　Ｔ＝２　のとき、　Ａ＝２２　、Ｂ＝１５　、Ｃ＝２３　、Ｄ＝４６　、Ｅ＝１９　で条件に適する。

　従って、求める生徒数は、　Ｎ＝５×２５＝１２５（人）