全部で何人?                               戻る

 生徒数がN人の学校では、生徒が5つのグループA、B、C、D、Eに分かれ、重複するもの
はいないしグループの人数もすべて異なるという。各グループについて次のことが判明した。

 Aの人数は、全体の5分の1より3人少ない。
 Bの人数は、Aの人数の半分より4人多い。
 Cの人数は、Aの人数より多い。
 Dの人数は、Cの人数の2倍である。
 Eの人数は、BとCの人数の平均である。

 これらの情報を整理すると、生徒数Nが判明するという。一体何人なのだろうか?

(参考:筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編 「Cafe Bollweck No.Z」)































(答) 条件より、 A=N/5−3 、B=A/2+4 、C>A 、D=2C 、E=(B+C)/2

 Nは5の倍数なので、 N=5N’とおける。このとき、

  A=N’−3 、B=N’/2+5/2 、C>A 、D=2C 、E=N’/4+C/2+5/4

 N=A+B+C+D+E なので、

  5N’=(N’−3)+(N’/2+5/2)+C+2C+(N’/4+C/2+5/4)

 よって、 13N’/4=7C/2+3/4 より、 13N’=14C+3

 ここで、 13×(−3)=14×(−3)+3 なので、 13(N’+3)=14(C+3)

 13と14は互いに素なので、 N’+3=14T (Tは自然数) とおける。

 このとき、 C+3=13T となる。

 以上から、 N’=14T−3 で、

 A=14T−6 、B=7T+1 、C=13T−3 、D=26T−6 、E=10T−1

 C>A より、 13T−3>14T−6  よって、 1≦T<3

 Tは自然数なので、 T=1、2

 T=1 のとき、 A=B=8 となり、条件に反する。

 T=2 のとき、 A=22 、B=15 、C=23 、D=46 、E=19 で条件に適する。

 従って、求める生徒数は、 N=5×25=125(人)