いつ出てくる？２　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年２月１７日付け）

　２^ｎ (n：自然数)を書き下すとき、先頭以外の任意の桁の部分で連続して0が続くのは、連
続する個数が２〜９に対して、最小のnはそれぞれいくつになるか調査してみてください。






































（答）　攻略法さんが考察されました。（平成２５年２月１８日付け）

　２^ｎの場合　→　（参考）　A006889

　３^ｎの場合　→　（参考）　A195269

　　　　　10, 35, 148, 332, 540, 540, 7722, 22793, 107189


（追記）　平成２５年２月２７日付け

　平成２５年度東京大学前期理系の第５問に、上記の問題と同じ匂いを感じた。

　次の命題を証明したい。

命題Ｐ　次の条件（ａ）、（ｂ）をともに満たす自然数（１以上の整数）Ａが存在する。

　（ａ）　Ａは連続する３つの自然数の積である。

　（ｂ）　Ａを10進法で表したとき、１が連続して９９回以上現れるところがある。

　以下の問いに答えよ。

（１）　ｙ を自然数とする。このとき不等式

　　　ｘ³＋３ｙｘ²＜（ｘ＋ｙ−１）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）＜ｘ³＋（３ｙ＋１）ｘ²

　　が成り立つような正の実数 ｘ の範囲を求めよ。

（２）　命題Ｐを証明せよ。


（コメント）　（２）で、（１）をどのように使うのかが難しそう．．．。東大らしい難問ですね！