ハイドンの驚愕三重奏 
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２４年１１月２４日付け）
次のように、異なる２５６個の整数を１６個ずつの１６組（Ｐ０１〜Ｐ１６）に分ける。
P01=(1160, 1189, 539, 496, 672, 695, 57, 10, 11, 58, 631, 654, 515, 558, 1123, 1152)
P02=(531, 560, 675, 632, 43, 66, 1179, 1132, 1133, 1180, 2, 25, 651, 694, 494, 523)
P03=(1155, 1089, 422, 379, 831, 767, 92, 45, 91, 44, 790, 808, 403, 360, 1118, 1126)
P04=(832, 766, 99, 56, 1154, 1090, 415, 368, 414, 367, 1113, 1131, 80, 37, 795, 803)
P05=(1106, 1135, 411, 454, 716, 739, 27, 74, 75, 28, 757, 780, 473, 430, 1143, 1172)
P06=(409, 438, 717, 760, 19, 42, 1115, 1162, 1163, 1116, 60, 83, 779, 736, 446, 475)
P07=(999, 1007, 192, 235, 977, 995, 164, 211, 163, 210, 1018, 954, 173, 216, 1036, 970)
P08=(982, 990, 175, 218, 994, 1012, 181, 228, 180, 227, 1035, 971, 156, 199, 1019, 953)
P09=(183, 191, 991, 1034, 195, 213, 963, 1010, 962, 1009, 236, 172, 972, 1015, 220, 154)
P10=(200, 208, 974, 1017, 178, 196, 980, 1027, 979, 1026, 219, 155, 955, 998, 237, 171)
P11=(715, 744, 20, 63, 1107, 1130, 418, 465, 466, 419, 1148, 1171, 82, 39, 752, 781)
P12=(18, 47, 1108, 1151, 410, 433, 724, 771, 772, 725, 451, 474, 1170, 1127, 55, 84)
P13=(101, 35, 1153, 1110, 423, 359, 823, 776, 822, 775, 382, 400, 1134, 1091, 64, 72)
P14=(424, 358, 830, 787, 100, 36, 1146, 1099, 1145, 1098, 59, 77, 811, 768, 387, 395)
P15=(667, 696, 46, 3, 1165, 1188, 550, 503, 504, 551, 1124, 1147, 22, 65, 630, 659)
P16=(38, 67, 1168, 1125, 536, 559, 686, 639, 640, 687, 495, 518, 1144, 1187, 1, 30)
この１６組を各行ベクトルにする１６×１６の正方行列をつくると、その正方行列には驚くべ
き調和とバランスが成立している。
ぜひ、エクセルなどの表計算ソフトを利用して一気に計算を行う機能を使ってその秘密を
発見してみて下さい。（なお表題の三重とは３回驚くことを意味します。）
（答） 攻略法さんが考察されました。（平成２４年１１月２４日付け）
1回目の驚き:
数字の多さ（笑）
9520
1160,1189, 539, 496, 672,
695, 57, 10, 11, 58, 631, 654, 515,
558,1123,1152 9520
531, 560, 675,
632, 43, 66,1179,1132,1133,1180, 2, 25, 651,
694, 494, 523 9520
1155,1089, 422, 379, 831,
767, 92, 45, 91, 44, 790, 808, 403,
360,1118,1126 9520
832,
766, 99, 56,1154,1090, 415, 368, 414,
367,1113,1131, 80, 37, 795, 803 9520
1106,1135, 411, 454, 716, 739, 27, 74, 75, 28, 757, 780, 473,
430,1143,1172 9520
409, 438, 717,
760, 19, 42,1115,1162,1163,1116, 60, 83, 779, 736, 446,
475 9520
999,1007, 192, 235, 977, 995, 164,
211, 163, 210,1018, 954, 173, 216,1036,
970 9520
982, 990, 175, 218, 994,1012, 181,
228, 180, 227,1035, 971, 156, 199,1019,
953 9520
183, 191, 991,1034, 195, 213,
963,1010, 962,1009, 236, 172, 972,1015, 220,
154 9520
200, 208, 974,1017, 178, 196,
980,1027, 979,1026, 219, 155, 955, 998, 237,
171 9520
715, 744, 20, 63,1107,1130, 418,
465, 466, 419,1148,1171, 82, 39, 752, 781 9520
18, 47,1108,1151, 410, 433, 724, 771, 772,
725, 451, 474,1170,1127, 55, 84 9520
101, 35,1153,1110, 423, 359, 823, 776, 822, 775, 382,
400,1134,1091, 64, 72 9520
424, 358, 830, 787,
100, 36,1146,1099,1145,1098, 59, 77, 811, 768, 387,
395 9520
667, 696, 46, 3,1165,1188, 550,
503, 504, 551,1124,1147, 22, 65, 630, 659 9520
38, 67,1168,1125, 536, 559, 686, 639, 640, 687, 495,
518,1144,1187,
1, 30 9520
9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520,9520 9520
全体16x16は、魔方陣で、5箇所の8x8の和（赤、緑、青、黒、斜体）が38080で同じになる。
☆さんからのコメントです。（平成２４年１２月３日付け）
この16×16の行列の行列式を計算すると、「0」になるようです。行列のランクは7です。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２４日付け）
「5箇所の8x8の和（赤、緑、青、黒、斜体）が38080で同じになる」には気づきませんでした。
２，３回目の驚きも発見お願いします。（ヒント：二重、三重）
攻略法さんからの続報です。（平成２４年１１月２４日付け）
2回目の驚き: プレゼン用のデータを作成したこと（笑）
2x2（4個の数の和）を1マスとした8x8は、魔方陣となる。
（検証） たとえば、左上の場合は、
1160, 1189
531, 560
なので、1160+1189+531+560=3440
19040
3440 2342 1476 2378 2382 1312 2418 3292 19040
3842
956 3842 920 916 3842 880 3842 19040
3088 2342 1516 2378 2382 1680 2418 3236 19040
3978 820 3978
784 780 3978 744 3978 19040
782 4016 782 3980 3976
782 3940 782 19040
1524 2342 3080 2378 2382 3244 2418 1672 19040
918 3880
918 3844 3840 918 3804 918 19040
1468 2342 3448 2378 2382 3284 2418 1320 19040
19040 19040 19040
19040 19040 19040 19040 19040 19040 （終り）
19040
┌─────┬─────┬─────┬─────┬─────┬─────┬─────┬─────┐
│1160,1189 │ 539,
496 │ 672, 695 │ 57, 10 │ 11, 58 │ 631, 654 │ 515, 558 │1123,1152 │
19040
│ 531, 560 │ 675, 632 │ 43, 66 │1179,1132 │1133,1180 │ 2, 25 │
651, 694 │ 494, 523
│
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│1155,1089 │ 422, 379
│ 831, 767 │ 92, 45 │ 91, 44 │ 790, 808 │ 403, 360 │1118,1126 │ 19040
│
832, 766 │ 99, 56 │1154,1090 │ 415, 368 │ 414, 367 │1113,1131 │ 80, 37 │
795, 803 │
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│1106,1135 │
411, 454 │ 716, 739 │ 27, 74 │ 75, 28 │ 757, 780 │ 473, 430 │1143,1172 │
19040
│ 409, 438 │ 717, 760 │ 19, 42 │1115,1162 │1163,1116 │ 60, 83 │
779, 736 │ 446, 475 │
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│
999,1007 │ 192, 235 │ 977, 995 │ 164, 211 │ 163, 210 │1018, 954 │ 173, 216
│1036, 970 │ 19040
│ 982, 990 │ 175, 218 │ 994,1012 │ 181, 228 │ 180, 227
│1035, 971 │ 156, 199 │1019, 953
│
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│ 183, 191 │ 991,1034
│ 195, 213 │ 963,1010 │ 962,1009 │ 236, 172 │ 972,1015 │ 220, 154 │ 19040
│
200, 208 │ 974,1017 │ 178, 196 │ 980,1027 │ 979,1026 │ 219, 155 │ 955, 998 │
237, 171 │
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│ 715, 744
│ 20, 63 │1107,1130 │ 418, 465 │ 466, 419 │1148,1171 │ 82, 39 │ 752, 781 │
19040
│ 18, 47 │1108,1151 │ 410, 433 │ 724, 771 │ 772, 725 │ 451, 474
│1170,1127 │ 55, 84
│
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│ 101, 35 │1153,1110
│ 423, 359 │ 823, 776 │ 822, 775 │ 382, 400 │1134,1091 │ 64, 72 │ 19040
│
424, 358 │ 830, 787 │ 100, 36 │1146,1099 │1145,1098 │ 59, 77 │ 811, 768 │
387, 395 │
├─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┤
│ 667,
696,│ 46, 3 │1165,1188,│ 550, 503 │ 504, 551,│1124,1147 │ 22, 65,│ 630, 659
│ 19040
│ 38, 67,│1168,1125 │ 536, 559,│ 686, 639 │ 640, 687,│ 495, 518
│1144,1187,│ 1, 30
│
└─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┴─────┘
19040
19040 19040 19040 19040 19040 19040
19040 19040
4x4（16個の数の和）を1マスとした4x4は、和が38080の魔方陣となる。
38080
┌──────────┬──────────┬──────────┬──────────┐
│1160,1189, 539, 496 │
672, 695, 57, 10 │ 11, 58, 631, 654 │ 515, 558,1123,1152 │
│ 531, 560,
675, 632 │ 43, 66,1179,1132 │1133,1180, 2, 25 │ 651, 694, 494, 523 │
38080
│1155,1089, 422, 379 │ 831, 767, 92, 45 │ 91, 44, 790, 808 │ 403,
360,1118,1126 │
│ 832, 766, 99, 56 │1154,1090, 415, 368 │ 414,
367,1113,1131 │ 80, 37, 795, 803
│
├──────────┼──────────┼──────────┼──────────┤
│1106,1135, 411, 454 │
716, 739, 27, 74 │ 75, 28, 757, 780 │ 473, 430,1143,1172 │
│ 409, 438,
717, 760 │ 19, 42,1115,1162 │1163,1116, 60, 83 │ 779, 736, 446, 475 │
38080
│ 999,1007, 192, 235 │ 977, 995, 164, 211 │ 163, 210,1018, 954 │ 173,
216,1036, 970 │
│ 982, 990, 175, 218 │ 994,1012, 181, 228 │ 180, 227,1035,
971 │ 156, 199,1019, 953 │
├──────────┼──────────┼──────────┼──────────┤
│
183, 191, 991,1034 │ 195, 213, 963,1010 │ 962,1009, 236, 172 │ 972,1015, 220,
154 │
│ 200, 208, 974,1017 │ 178, 196, 980,1027 │ 979,1026, 219, 155 │ 955,
998, 237, 171 │ 38080
│ 715, 744, 20, 63 │1107,1130, 418, 465 │ 466,
419,1148,1171 │ 82, 39, 752, 781 │
│ 18, 47,1108,1151 │ 410, 433, 724,
771 │ 772, 725, 451, 474 │1170,1127, 55, 84
│
├──────────┼──────────┼──────────┼──────────┤
│ 101, 35,1153,1110 │
423, 359, 823, 776 │ 822, 775, 382, 400 │1134,1091, 64, 72 │
│ 424, 358,
830, 787 │ 100, 36,1146,1099 │1145,1098, 59, 77 │ 811, 768, 387, 395 │
38080
│ 667, 696, 46, 3 │1165,1188, 550, 503 │ 504, 551,1124,1147
│ 22, 65, 630, 659 │
│ 38, 67,1168,1125 │ 536, 559, 686, 639 │ 640, 687,
495, 518 │1144,1187, 1, 30
│
└──────────┴──────────┴──────────┴──────────┘
38080
38080 38080
38080 38080
8x8（64個の数の和）を1マスとした2x2は、和が76160の魔方陣となる。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２４日付け）
上記で示された事には気づきませんでした。今、私の興味は平方数にあり、この性質を調
べる調査の中で出くわした怪物なのです。
攻略法さんからの続報です。（平成２４年１１月２４日付け）
全体16x16は、和が9520の魔方陣となる。
┌────────────────────────────────────────┐
│1160,1189, 539, 496,
672, 695, 57, 10, 11, 58, 631, 654, 515, 558,1123,1152 │
│ 531, 560, 675,
632, 43, 66,1179,1132,1133,1180, 2, 25, 651, 694, 494, 523 │
│1155,1089,
422, 379, 831, 767, 92, 45, 91, 44, 790, 808, 403, 360,1118,1126 │
│ 832,
766, 99, 56,1154,1090, 415, 368, 414, 367,1113,1131, 80, 37, 795, 803
│
│1106,1135, 411, 454, 716, 739, 27, 74, 75, 28, 757, 780, 473,
430,1143,1172 │
│ 409, 438, 717, 760, 19, 42,1115,1162,1163,1116, 60, 83,
779, 736, 446, 475 │
│ 999,1007, 192, 235, 977, 995, 164, 211, 163, 210,1018,
954, 173, 216,1036, 970 │
│ 982, 990, 175, 218, 994,1012, 181, 228, 180,
227,1035, 971, 156, 199,1019, 953 │
│ 183, 191, 991,1034, 195, 213, 963,1010,
962,1009, 236, 172, 972,1015, 220, 154 │
│ 200, 208, 974,1017, 178, 196,
980,1027, 979,1026, 219, 155, 955, 998, 237, 171 │
│ 715,
744, 20, 63,1107,1130, 418, 465, 466, 419,1148,1171, 82, 39, 752, 781
│
│ 18, 47,1108,1151, 410, 433, 724, 771, 772, 725, 451,
474,1170,1127, 55, 84 │
│ 101, 35,1153,1110, 423, 359, 823, 776, 822, 775,
382, 400,1134,1091, 64, 72 │
│ 424, 358, 830, 787,
100, 36,1146,1099,1145,1098, 59, 77, 811, 768, 387, 395 │
│ 667,
696, 46, 3,1165,1188, 550, 503, 504, 551,1124,1147, 22, 65, 630, 659
│
│ 38, 67,1168,1125, 536, 559, 686, 639, 640, 687, 495, 518,1144,1187,
1, 30
│
└────────────────────────────────────────┘
全体16x16は、平方和が8228000の魔方陣となる。
┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│1160^2,1189^2,
539^2, 496^2, 672^2, 695^2, 57^2, 10^2, 11^2, 58^2, 631^2, 654^2, 515^2,
558^2,1123^2,1152^2 │
│ 531^2, 560^2, 675^2,
632^2, 43^2, 66^2,1179^2,1132^2,1133^2,1180^2, 2^2, 25^2, 651^2, 694^2,
494^2, 523^2 │
│1155^2,1089^2, 422^2, 379^2, 831^2,
767^2, 92^2, 45^2, 91^2, 44^2, 790^2, 808^2, 403^2, 360^2,1118^2,1126^2
│
│ 832^2, 766^2, 99^2, 56^2,1154^2,1090^2, 415^2, 368^2, 414^2,
367^2,1113^2,1131^2, 80^2, 37^2, 795^2, 803^2 │
│1106^2,1135^2, 411^2,
454^2, 716^2, 739^2, 27^2, 74^2, 75^2, 28^2, 757^2, 780^2, 473^2,
430^2,1143^2,1172^2 │
│ 409^2, 438^2, 717^2,
760^2, 19^2, 42^2,1115^2,1162^2,1163^2,1116^2, 60^2, 83^2, 779^2, 736^2,
446^2, 475^2 │
│ 999^2,1007^2, 192^2, 235^2, 977^2, 995^2, 164^2, 211^2,
163^2, 210^2,1018^2, 954^2, 173^2, 216^2,1036^2, 970^2 │
│ 982^2, 990^2,
175^2, 218^2, 994^2,1012^2, 181^2, 228^2, 180^2, 227^2,1035^2, 971^2, 156^2,
199^2,1019^2, 953^2 │
│ 183^2, 191^2, 991^2,1034^2, 195^2, 213^2,
963^2,1010^2, 962^2,1009^2, 236^2, 172^2, 972^2,1015^2, 220^2, 154^2 │
│
200^2, 208^2, 974^2,1017^2, 178^2, 196^2, 980^2,1027^2, 979^2,1026^2, 219^2,
155^2, 955^2, 998^2, 237^2, 171^2 │
│ 715^2,
744^2, 20^2, 63^2,1107^2,1130^2, 418^2, 465^2, 466^2,
419^2,1148^2,1171^2, 82^2, 39^2, 752^2, 781^2
│
│ 18^2, 47^2,1108^2,1151^2, 410^2, 433^2, 724^2, 771^2, 772^2, 725^2,
451^2, 474^2,1170^2,1127^2, 55^2, 84^2 │
│ 101^2, 35^2,1153^2,1110^2,
423^2, 359^2, 823^2, 776^2, 822^2, 775^2, 382^2,
400^2,1134^2,1091^2, 64^2, 72^2 │
│ 424^2, 358^2, 830^2, 787^2,
100^2, 36^2,1146^2,1099^2,1145^2,1098^2, 59^2, 77^2, 811^2, 768^2, 387^2,
395^2 │
│ 667^2, 696^2, 46^2, 3^2,1165^2,1188^2, 550^2, 503^2, 504^2,
551^2,1124^2,1147^2, 22^2, 65^2, 630^2, 659^2
│
│ 38^2, 67^2,1168^2,1125^2, 536^2, 559^2, 686^2, 639^2, 640^2, 687^2,
495^2, 518^2,1144^2,1187^2, 1^2, 30^2
│
└────────────────────────────────────────────────────────┘
全体16x16は、立方和が7946344000の魔方陣となる。
┌────────────────────────────────────────────────────────┐
│1160^3,1189^3,
539^3, 496^3, 672^3, 695^3, 57^3, 10^3, 11^3, 58^3, 631^3, 654^3, 515^3,
558^3,1123^3,1152^3 │
│ 531^3, 560^3, 675^3,
632^3, 43^3, 66^3,1179^3,1132^3,1133^3,1180^3, 2^3, 25^3, 651^3, 694^3,
494^3, 523^3 │
│1155^3,1089^3, 422^3, 379^3, 831^3,
767^3, 92^3, 45^3, 91^3, 44^3, 790^3, 808^3, 403^3, 360^3,1118^3,1126^3
│
│ 832^3, 766^3, 99^3, 56^3,1154^3,1090^3, 415^3, 368^3, 414^3,
367^3,1113^3,1131^3, 80^3, 37^3, 795^3, 803^3 │
│1106^3,1135^3, 411^3,
454^3, 716^3, 739^3, 27^3, 74^3, 75^3, 28^3, 757^3, 780^3, 473^3,
430^3,1143^3,1172^3 │
│ 409^3, 438^3, 717^3,
760^3, 19^3, 42^3,1115^3,1162^3,1163^3,1116^3, 60^3, 83^3, 779^3, 736^3,
446^3, 475^3 │
│ 999^3,1007^3, 192^3, 235^3, 977^3, 995^3, 164^3, 211^3,
163^3, 210^3,1018^3, 954^3, 173^3, 216^3,1036^3, 970^3 │
│ 982^3, 990^3,
175^3, 218^3, 994^3,1012^3, 181^3, 228^3, 180^3, 227^3,1035^3, 971^3, 156^3,
199^3,1019^3, 953^3 │
│ 183^3, 191^3, 991^3,1034^3, 195^3, 213^3,
963^3,1010^3, 962^3,1009^3, 236^3, 172^3, 972^3,1015^3, 220^3, 154^3 │
│
200^3, 208^3, 974^3,1017^3, 178^3, 196^3, 980^3,1027^3, 979^3,1026^3, 219^3,
155^3, 955^3, 998^3, 237^3, 171^3 │
│ 715^3,
744^3, 20^3, 63^3,1107^3,1130^3, 418^3, 465^3, 466^3,
419^3,1148^3,1171^3, 82^3, 39^3, 752^3, 781^3
│
│ 18^3, 47^3,1108^3,1151^3, 410^3, 433^3, 724^3, 771^3, 772^3, 725^3,
451^3, 474^3,1170^3,1127^3, 55^3, 84^3 │
│ 101^3, 35^3,1153^3,1110^3,
423^3, 359^3, 823^3, 776^3, 822^3, 775^3, 382^3,
400^3,1134^3,1091^3, 64^3, 72^3 │
│ 424^3, 358^3, 830^3, 787^3,
100^3, 36^3,1146^3,1099^3,1145^3,1098^3, 59^3, 77^3, 811^3, 768^3, 387^3,
395^3 │
│ 667^3, 696^3, 46^3, 3^3,1165^3,1188^3, 550^3, 503^3, 504^3,
551^3,1124^3,1147^3, 22^3, 65^3, 630^3, 659^3
│
│ 38^3, 67^3,1168^3,1125^3, 536^3, 559^3, 686^3, 639^3, 640^3, 687^3,
495^3, 518^3,1144^3,1187^3, 1^3, 30^3
│
└────────────────────────────────────────────────────────┘
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２６日付け）
３度驚いてもらえたでしょうか？この怪物発見者として David M.Collison という名前が紹
介されていました。たぶんアマチュアの愛好家と思われます。
（発見は2000年以降だと思います。）
これをいかにして構成したのか？この謎を解くためのヒントを広く求めたい。２５６個の数
字はなぜこれを選んだのか？どんな規準で選ぶのか？数と平方数と立方数にはいかなる
関係が生まれるのか？
どんなことでも結構です。広く皆さんのご協力を仰ぎます。
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２４年１１月２８日付け）
使用されている２５６個の数について、数ＮとＮ2とＮ3の数を、それぞれ２と４と８と１６で割
った余りで分類してみると、１６個ずつ（なかには８個、３２個になることも起こるが）の１６パ
ターン（グループ名Ａ〜Ｐで表す。）が生じていた。
以下の一覧が同じグループを構成する数の仲間になります。なにかここから手がかりが
掴めないかと思案中です。
通番：N：2の剰余 ：4の剰余 ：8の剰余 ：16の剰余 ：グループ名（Ａ〜Ｐ）
N；N2；N3 N；N2；N3 N；N2；N3 N；N2；N3
の調査をしてみると次のパターンの違いで１６グループに分けることができた。
1
64 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
2 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
3 192 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 A
4 208 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
5 368 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 A
6 400 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
7 496 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A
8 560 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
9 640 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
10
672 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
11 736 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
12 752 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
13 768 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
14 832 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 A
15 1152 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A
16 1168 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 A |
|
1 56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
2 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0
B
3 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
4 216 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
5 360
0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
6 424 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
7 504 0 0 0 0 0
0 0 0 0 8 0 0 B
8 536 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
9 632 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8
0 0 B
10 696 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
11 744 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0
B
12 760 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
13 776 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
14
808 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
15 1144 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B
16 1160 0
0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 B |
| |
|
|
1 20 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
2 36 0 0 0 0 0
0 4 0 0 4 0 0 C
3 84 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
4 100 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0
0 C
5 164 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
6 180 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
7
196 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
8 228 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
9 724 0 0 0
0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
10 772 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
11 980 0 0 0 0 0 0 4
0 0 4 0 0 C
12 1012 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
13 1108 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4
0 0 C
14 1124 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C
15 1172 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0
C
16 1188 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 C |
|
1 28 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
2 44 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
3 60 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
4 92
0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
5 156 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
6 172 0 0 0 0
0 0 4 0 0 12 0 0 D
7 220 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
8 236 0 0 0 0 0 0 4 0
0 12 0 0 D
9 716 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
10 780 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0
0 D
11 972 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
12 1036 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0
D
13 1116 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
14 1132 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0
D
15 1148 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0 D
16 1180 0 0 0 0 0 0 4 0 0 12 0 0
D |
| |
|
|
1 2 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
2 18 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
3 66
0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
4 82 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
5 178 0 0 0 2 0 0
2 4 0 2 4 8 E
6 210 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
7 418 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4
8 E
8 466 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
9 962 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
10
994 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
11 1010 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
12 1026 0
0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
13 1090 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
14 1106 0 0 0 2
0 0 2 4 0 2 4 8 E
15 1154 0 0 0 2 0 0 2 4 0 2 4 8 E
16 1170 0 0 0 2 0 0 2
4 0 2 4 8 E |
|
1 22 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
2 38 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4
8 F
3 358 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
4 422 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
5
438 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
6 454 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
7 518 0 0 0
2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
8 550 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
9 630 0 0 0 2 0 0 6 4
0 6 4 8 F
10 694 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
11 790 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8
F
12 822 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
13 982 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
14
998 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
15 1110 0 0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F
16 1126 0
0 0 2 0 0 6 4 0 6 4 8 F |
| |
|
|
1 10 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
2 42 0 0 0 2 0
0 2 4 0 10 4 8 G
3 58 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
4 74 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10
4 8 G
5 154 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
6 218 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8
G
7 410 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
8 474 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
9
954 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
10 970 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
11 1018 0
0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
12 1034 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
13 1098 0 0 0
2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
14 1130 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G
15 1146 0 0 0 2 0
0 2 4 0 10 4 8 G
16 1162 0 0 0 2 0 0 2 4 0 10 4 8 G |
|
1 30 0 0 0 2 0 0 6
4 0 14 4 8 H
2 46 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
3 382 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4
8 H
4 414 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
5 430 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
6
446 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
7 494 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
8 558 0 0
0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
9 654 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
10 686 0 0 0 2 0 0
6 4 0 14 4 8 H
11 766 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
12 830 0 0 0 2 0 0 6 4 0
14 4 8 H
13 974 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
14 990 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8
H
15 1118 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8 H
16 1134 0 0 0 2 0 0 6 4 0 14 4 8
H |
| |
|
|
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
2 65 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
3
433 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
4 465 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
5 977 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
6 1009 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
7 1089 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 I
8 1153 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I |
|
1 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
2 57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
3 409 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
4
473 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
5 953 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
6 1017 1 1 1
1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
7 1113 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 9 J
8 1145 1 1 1 1 1 1 1
1 1 9 1 9 J |
| |
|
|
1 37 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13 K
2 101 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5
9 13 K
3 181 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13 K
4 213 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13
K
5 725 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13 K
6 757 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13 K
7
1125 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13 K
8 1189 1 1 1 1 1 1 5 1 5 5 9 13 K |
|
1 45 1 1 1 1 1 1 5 1 5 13 9 5 L
2 77 1 1 1 1 1 1 5 1 5 13 9 5 L
3 173 1 1 1 1 1
1 5 1 5 13 9 5 L
4 237 1 1 1 1 1 1 5 1 5 13 9 5 L
5 717 1 1 1 1 1 1 5 1 5
13 9 5 L
6 781 1 1 1 1 1 1 5 1 5 13 9 5 L
7 1133 1 1 1 1 1 1 5 1 5 13 9 5
L
8 1165 1 1 1 1 1 1 5 1 5 13 9 5 L |
| |
|
|
1 3 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
2 19 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
3 35 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
4 67
1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
5 83 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
6 99 1 1 1 3 1
3 3 1 3 3 9 11 M
7 163 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
8 195 1 1 1 3 1 3 3 1 3
3 9 11 M
9 211 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
10 227 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
11 387 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
12 403 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
13 419 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
14 451 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
15 515 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
16 531 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
17 659 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
18 675 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
19 739 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
20 771 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
21 787 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
22 803 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
23 963 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
24 979 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
25 995 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
26 1027 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
27 1091 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
28 1107 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
29 1123 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
30 1155 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M
31 1171 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11 M
32 1187 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 9 11
M |
|
1 11 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
2 27 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
3
43 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
4 59 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
5 75 1 1 1 3
1 3 3 1 3 11 9 3 N
6 91 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
7 155 1 1 1 3 1 3 3 1 3
11 9 3 N
8 171 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
9 219 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
10 235 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
11 379 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
12 395 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
13 411 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
14 475 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
15 523 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
16 539 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
17 651 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
18 667 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
19 715 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
20 779 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
21 795 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
22 811 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
23 955 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
24 971 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
25 1019 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
26 1035 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
27 1099 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
28 1115 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
29 1131 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
30 1147 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N
31 1163 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3
N
32 1179 1 1 1 3 1 3 3 1 3 11 9 3 N |
| |
|
|
1 39 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
2 55 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
3 183 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
4 199
1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
5 359 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
6 423 1 1 1 3 1
3 7 1 7 7 1 7 O
7 503 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
8 551 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7
1 7 O
9 631 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
10 695 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7
O
11 775 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
12 823 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
13
999 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
14 1015 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
15 1127 1
1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O
16 1143 1 1 1 3 1 3 7 1 7 7 1 7 O |
|
1 47 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
2 63 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
3 175 1 1 1 3 1 3 7 1
7 15 1 15 P
4 191 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
5 367 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1
15 P
6 415 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
7 495 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15
P
8 559 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
9 639 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15
P
10 687 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
11 767 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15
P
12 831 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
13 991 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15
P
14 1007 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P
15 1135 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15
P
16 1151 1 1 1 3 1 3 7 1 7 15 1 15 P |
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２４年１１月３０日付け）
この分類に使われるパラメータが多すぎて複雑であったので、もっとスッキリした指標はな
いものかと２５６個の数をそれぞれ２，４，８進数表示にして一覧表にして何気なく眺めていま
したら次のハッキリした特徴が各グループに存在していることが浮かび上がってきました。
数字Nを４進数表示したとき、その下２桁にくる数字の組合せが
00→グループA
A=
[ 64, 80, 192, 208, 368, 400, 496, 560, 640, 672, 736, 752,
768,832,1152,1168]
20→グループB
B= [ 56, 72, 200, 216, 360, 424, 504, 536,
632, 696, 744, 760, 776, 808,1144,1160]
10→グループC
C= [ 20, 36, 84, 100,
164, 180, 196, 228, 724, 772, 980, 1012,1108,1124,1172,1188]
30→グループD
D= [
28, 44, 60, 92, 156, 172, 220, 236, 716, 780, 972, 1036,
1116,1132,1148,1180]
02→グループE
E= [ 2, 18, 66, 82, 178, 210, 418, 466, 962,
994, 1010, 1026, 1090,1106,1154,1170]
12→グループF
F= [ 22, 38, 358, 422, 438,
454, 518, 550, 630, 694, 790, 822, 982, 998,1110,1126]
22→グループG
G= [ 10,
42, 58, 74, 154, 218, 410, 474, 954, 970, 1018,
1034,1098,1130,1146,1162]
32→グループH
H= [ 30, 46, 382, 414, 430, 446, 494,
558, 654, 686, 766, 830, 974, 990,1118,1134]
01→グループI
I= [ 1, 65, 433,
465, 977, 1009, 1089, 1153]
21→グループJ
J= [ 25, 57, 409, 473, 953, 1017,
1113, 1145]
11→グループK
K= [ 37, 101, 181, 213, 725, 757, 1125,
1189]
31→グループL
L= [ 45, 77, 173, 237, 717, 781, 1133,
1165]
03→グループM
M= [3, 19, 35, 67, 83, 99, 163, 195, 211,227,387,403,419,451,515,531,659,675,739, 771, 787,
803, 963, 979, 995, 1027, 1091, 1107, 1123, 1155, 1171, 1187]
23→グループN
N= [ 11, 27, 43, 59, 75, 91, 155, 171, 219, 235, 379,395,411,475,523,539,651,667,
715, 779,
795, 811, 955, 971, 1019, 1035, 1099, 1115, 1131, 1147, 1163, 1179]
13→グループO
O= [ 39, 55,
183, 199, 359, 423, 503, 551, 631, 695, 775, 823,
999,1015,1127,1143]
33→グループP
P= [ 47, 63, 175, 191, 367, 415, 495, 559,
639, 687, 767, 831,
991,1007,1135,1151]
と見事に１６グループに分かれていきました。これで、使われている数字の素性が掴めた。
（４進数と深く関係を持つ。）この調査の結果、同じグループにある数は平方、立方数にして
みても同じ性質を共有することが保証される。言いかえれば２乗と３乗の変換に影響されな
いとなる。
後は如何にこのグループからどう配置を決定するか？ということが問題となる。でもこれは
手強そうだ。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１２月１日付け）
各数字を17で割った余りを見てみたら、とても規則的でした
4, 16, 12, 3, 9, 15, 6, 10, 11, 7, 2, 8, 5, 14, 1, 13
4, 16, 12, 3, 9, 15, 6, 10, 11, 7, 2, 8, 5, 14, 1, 13
16, 1, 14, 5, 15, 2, 7, 11, 6, 10, 8, 9, 12, 3, 13, 4
16, 1, 14, 5, 15, 2, 7, 11, 6, 10, 8, 9, 12, 3, 13, 4
1, 13, 3, 12, 2, 8, 10, 6, 7, 11, 9, 15, 14, 5, 4, 16
1, 13, 3, 12, 2, 8, 10, 6, 7, 11, 9, 15, 14, 5, 4, 16
13, 4, 5, 14, 8, 9, 11, 7, 10, 6, 15, 2, 3, 12, 16, 1
13, 4, 5, 14, 8, 9, 11, 7, 10, 6, 15, 2, 3, 12, 16, 1
13, 4, 5, 14, 8, 9, 11, 7, 10, 6, 15, 2, 3, 12, 16, 1
13, 4, 5, 14, 8, 9, 11, 7, 10, 6, 15, 2, 3, 12, 16, 1
1, 13, 3, 12, 2, 8, 10, 6, 7, 11, 9, 15, 14, 5, 4, 16
1, 13, 3, 12, 2, 8, 10, 6, 7, 11, 9, 15, 14, 5, 4, 16
16, 1, 14, 5, 15, 2, 7, 11, 6, 10, 8, 9, 12, 3, 13, 4
16, 1, 14, 5, 15, 2, 7, 11, 6, 10, 8, 9, 12, 3, 13, 4
4, 16, 12, 3, 9, 15, 6, 10, 11, 7, 2, 8, 5, 14, 1, 13
4, 16, 12, 3, 9, 15, 6, 10, 11, 7, 2, 8, 5, 14, 1, 13
追記：17で割った商のほうは、余りほど規則的ではないけれど...
68, 69, 31, 29, 39, 40, 3, 0, 0, 3, 37, 38, 30, 32, 66, 67
31, 32, 39, 37, 2, 3, 69, 66, 66, 69, 0, 1, 38, 40, 29, 30
67, 64, 24, 22, 48, 45, 5, 2, 5, 2, 46, 47, 23, 21, 65, 66
48, 45, 5, 3, 67, 64, 24, 21, 24, 21, 65, 66, 4, 2, 46, 47
65, 66, 24, 26, 42, 43, 1, 4, 4, 1, 44, 45, 27, 25, 67, 68
24, 25, 42, 44, 1, 2, 65, 68, 68, 65, 3, 4, 45, 43, 26, 27
58, 59, 11, 13, 57, 58, 9, 12, 9, 12, 59, 56, 10, 12, 60, 57
57, 58, 10, 12, 58, 59, 10, 13, 10, 13, 60, 57, 9, 11, 59, 56
10, 11, 58, 60, 11, 12, 56, 59, 56, 59, 13, 10, 57, 59, 12, 9
11, 12, 57, 59, 10, 11, 57, 60, 57, 60, 12, 9, 56, 58, 13, 10
42, 43, 1, 3, 65, 66, 24, 27, 27, 24, 67, 68, 4, 2, 44, 45
1, 2, 65, 67, 24, 25, 42, 45, 45, 42, 26, 27, 68, 66, 3, 4
5, 2, 67, 65, 24, 21, 48, 45, 48, 45, 22, 23, 66, 64, 3, 4
24, 21, 48, 46, 5, 2, 67, 64, 67, 64, 3, 4, 47, 45, 22, 23
39, 40, 2, 0, 68, 69, 32, 29, 29, 32, 66, 67, 1, 3, 37, 38
2, 3, 68, 66, 31, 32, 40, 37, 37, 40, 29, 30, 67, 69, 0, 1
（コメント） １６個の分類だから、１７で割った余りに注目する．．．自然な発想で感動しまし
た！並んだ余りは本当に規則的ですね。
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２４年１２月２日付け）
空舟さんの気づきで改めて考え直してみましたら、この魔方陣の不思議さは素数１７にそ
の秘密が隠れているような気がしてきました。まずこれらの用いられている数は１７の剰余
（１〜１６）できれいに１６個ずつの１６グループに分けられる。
R01
= { 1, 18, 35, 154, 171, 358, 409, 494, 630, 715, 766, 953, 970, 1089, 1106,
1123 }
R02 = { 2, 19, 36, 155, 172, 359, 410, 495, 631, 716, 767, 954, 971,
1090, 1107, 1124 }
R03 = { 3, 20, 37, 156, 173, 360, 411, 496, 632, 717, 768,
955, 972, 1091, 1108, 1125 }
R04 = { 38, 55, 72, 191, 208, 395, 446, 531,
667, 752, 803, 990, 1007, 1126, 1143, 1160 }
R05 = { 22, 39, 56, 175, 192,
379, 430, 515, 651, 736, 787, 974, 991, 1110, 1127, 1144 }
R06 = { 57, 74,
91, 210, 227, 414, 465, 550, 686, 771, 822, 1009, 1026, 1145, 1162, 1179
}
R07 = { 58, 75, 92, 211, 228, 415, 466, 551, 687, 772, 823, 1010, 1027,
1146, 1163, 1180 }
R08 = { 25, 42, 59, 178, 195, 382, 433, 518, 654, 739,
790, 977, 994, 1113, 1130, 1147 }
R09 = { 43, 60, 77, 196, 213, 400, 451,
536, 672, 757, 808, 995, 1012, 1131, 1148, 1165 }
R10 = { 10, 27, 44, 163,
180, 367, 418, 503, 639, 724, 775, 962, 979, 1098, 1115, 1132 }
R11 = { 11,
28, 45, 164, 181, 368, 419, 504, 640, 725, 776, 963, 980, 1099, 1116, 1133
}
R12 = { 46, 63, 80, 199, 216, 403, 454, 539, 675, 760, 811, 998, 1015,
1134, 1151, 1168 }
R13 = { 30, 47, 64, 183, 200, 387, 438, 523, 659, 744,
795, 982, 999, 1118, 1135, 1152 }
R14 = { 65, 82, 99, 218, 235, 422, 473,
558, 694, 779, 830, 1017, 1034, 1153, 1170, 1187 }
R15 = { 66, 83, 100, 219,
236, 423, 474, 559, 695, 780, 831, 1018, 1035, 1154, 1171, 1188 }
R16 = { 67,
84, 101, 220, 237, 424, 475, 560, 696, 781, 832, 1019, 1036, 1155, 1172, 1189
}
この数字の選び方は１７で割ったときの商のパターンにより（１７の倍率グループ：r1〜r4）
r1 = { 0, 1, 2, 9, 10, 21, 24, 29, 37, 42, 45, 56, 57, 64, 65, 66 }の倍率で集めたのが上の
R01,R02,R03,R10,R11
r2 = { 1, 2, 3, 10, 11, 22, 25, 30, 38, 43, 46, 57, 58, 65, 66, 67 }の倍率で集めたのが
R05,R08,R13
r3 = { 2, 3, 4, 11, 12, 23, 26, 31, 39, 44, 47, 58, 59, 66, 67, 68 }の倍率で集めたのが
R04,R09,R12
r4 = { 3, 4, 5, 12, 13, 24, 27, 32, 40, 45, 48, 59, 60, 67, 68, 69 }の倍率で集めたのが
R06,R07,R14,R15,R16
空舟さんによれば「17で割った商のほうは、余りほど規則的ではないけれど...」とのことで
すが、結構商（倍率）も規則的でした。
次に剰余で現れる１〜１６で等式 1+4+13+16=2+8+9+15=3+5+12+14=6+7+10+11(=34)と
いう多様な組合せで表せる（しかも１〜１６の数字を一度ずつ使う。）性質がポイントとなり
R01,R04,R13,R16のグループをA 、R02,R08,R09,R15のグループをB
R03,R05,R12,R14のグループをC 、R06,R07,R10,R11のグループをD
で表すと次の現象が起きる。
A: 平方A=A: 立方A=A
B: 平方B=A: 立方B=B
C: 平方C=B: 立方C=D
D: 平方D=B: 立方D=C
そこで１６×１６を次の性質で満たす数字で構成してみる。
R04,R16,R12,R03,R09,R15,R06,R10,R11,R07,R02,R08,R05,R14,R01,R13
R04,R16,R12,R03,R09,R15,R06,R10,R11,R07,R02,R08,R05,R14,R01,R13
R16,R01,R14,R05,R15,R02,R07,R11,R06,R10,R08,R09,R12,R03,R13,R04
R16,R01,R14,R05,R15,R02,R07,R11,R06,R10,R08,R09,R12,R03,R13,R04
R01,R13,R03,R12,R02,R08,R10,R06,R07,R11,R09,R15,R14,R05,R04,R16
R01,R13,R03,R12,R02,R08,R10,R06,R07,R11,R09,R15,R14,R05,R04,R16
R13,R04,R05,R14,R08,R09,R11,R07,R10,R06,R15,R02,R03,R12,R16,R01
R13,R04,R05,R14,R08,R09,R11,R07,R10,R06,R15,R02,R03,R12,R16,R01
R13,R04,R05,R14,R08,R09,R11,R07,R10,R06,R15,R02,R03,R12,R16,R01
R13,R04,R05,R14,R08,R09,R11,R07,R10,R06,R15,R02,R03,R12,R16,R01
R01,R13,R03,R12,R02,R08,R10,R06,R07,R11,R09,R15,R14,R05,R04,R16
R01,R13,R03,R12,R02,R08,R10,R06,R07,R11,R09,R15,R14,R05,R04,R16
R16,R01,R14,R05,R15,R02,R07,R11,R06,R10,R08,R09,R12,R03,R13,R04
R16,R01,R14,R05,R15,R02,R07,R11,R06,R10,R08,R09,R12,R03,R13,R04
R04,R16,R12,R03,R09,R15,R06,R10,R11,R07,R02,R08,R05,R14,R01,R13
R04,R16,R12,R03,R09,R15,R06,R10,R11,R07,R02,R08,R05,R14,R01,R13
こうすると、
第１，２,１５，１６列はAグループ 、第３，４，１３，１４列はCグループ
第５，６，１１，１２列はBグループ 、第７，８，９，１０列はDグループ
また、すべての行はR1〜R16で構成されるという構造が作れる。
＊この配列をよくも思いついたものだと感心した。
これで各列の和は３４になる組合せが４組みできあがるので、合計４×３４＝１３６
また、各行の和は１＋２＋・・・＋１６＝1/2*16*17＝１３６ と、まず魔方陣の条件を満たして
おり、平方や立方にも対応できる可能性が生まれる。なお平方魔方陣ではA,Bグループだけ
（共に８個ずつ。）で構成され、立方魔方陣は再びA,B,C,Dグループ（共に４個ずつ。）に戻る。
（実際の数字の配置についてはまだ解明していない。）
ところが、これで理解したと思ったけれども、今度は、４乗、５乗で調べると、各グループの
変化が４乗の場合：
A4→A 、B4→A 、C4→A 、D4→A
と変化するので、魔方陣は成立しなくなる。（理論的にも検証も一致した。）ところが、５乗の
場合：
A5→A 、B5→B 、C5→C 、D5→D
となるので、５乗後の数は全グループが４つずつ現れ、原点の魔方陣の構造と同一の構成
を持つ。そこで喜び勇んで検証してみると、これが不成立の結果を見た。再び奈落の底に
突き落とされてしまった。助言お願いします。
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１２月３日付け）
魔方陣に使われている数字の分布を調べてみました。35行目で十字に分割すると、2×2
で対称な選び方になっています。さらに十字に分割すると、4×4で対称な選び方になってい
ます。
・剰余で魔方陣をつくる。数字が重複する。（どのように並べるかは不明）
・それを避けるために、商を使う。（どのように選ぶかは不明）
という手法で、つくられたのかもしれません。
商＼剰余
1: 1 2 3 10
11
2: 18 19 20 22 25 27
28 30
3: 35 36 37 38 39 42 43 44 45
46 47
4: 55 56 57 58 59 60 63
64 65 66 67
5: 72 74
75 77 80 82 83 84
6: 91 92
99 100 101
7:
8:
9:
10:
154 155 156 163 164
11:
171 172 173 175 178 180 181
183
12: 191 192 195 196 199 200
13: 208
210 211 213 216
218 219 220
14: 227 228 235 236 237
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
358 359 360 367 368
23:
379 382 387
24: 395 400 403
25:
409 410 411 414 415 418 419 422 423 424
26:
430 433 438
27: 446 451 454
28: 465 466 473 474 475
29:
30:
494 495 496 503 504
31:
515 518 523
32: 531 536 539
33: 550 551 558 559 560
34:
35: |
|
商＼剰余
36:
37:
38:
630 631 632 639 640
39:
651 654 659
40: 667 672 675
41: 686 687 694 695 696
42:
43:
715 716 717 724 725
44:
736 739 744
45: 752 757 760
46:
766 767 768 771 772 775 776 779 780 781
47:
787 790 795
48: 803 808 811
49: 822 823 830 831 832
50:
51:
52:
53:
54:
55:
56:
57:
953 954 955 962 963
58:
970 971 972 974 977 979 980
982
59: 990 991 994 995 998 999
60:
1007 1009 1010 1012 1015 1017 1018
1019
61: 1026 1027
1034 1035 1036
62:
63:
64:
65: 1089 1090
1091 1098 1099
66: 1106 1107
1108 1110 1113 1115 1116 1118
67: 1123 1124 1125
1126 1127 1130 1131 1132 1133 1134 1135
68: 1143
1144 1145 1146 1147 1148 1151 1152 1153 1154
1155
69: 1160 1162 1163 1165
1168 1170 1171 1172
70: 1179
1180 1187 1188 1189
|
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１２月３日付け）
剰余での条件は、必要条件ではあるが十分条件ではない事が判明したので、例の２５６
個の数字の選び方に係わる倍率（商）について考えてみました。空舟さんから提出された
１６×１６行列における商のマトリックスで
68, 69, 31, 29, 39, 40, 3, 0, 0, 3, 37, 38, 30,
32, 66, 67
31, 32, 39, 37, 2, 3, 69, 66, 66, 69, 0, 1, 38,
40, 29, 30
67, 64, 24, 22, 48, 45, 5, 2, 5, 2, 46, 47, 23,
21, 65, 66
48, 45, 5, 3, 67, 64, 24, 21, 24, 21, 65, 66, 4, 2,
46, 47
65, 66, 24, 26, 42, 43, 1, 4, 4, 1, 44, 45, 27,
25, 67, 68
24, 25, 42, 44, 1, 2, 65, 68, 68, 65, 3, 4, 45,
43, 26, 27
58, 59, 11, 13, 57, 58, 9, 12, 9, 12, 59, 56, 10, 12, 60, 57
57, 58, 10, 12, 58, 59, 10, 13, 10, 13, 60, 57, 9, 11, 59, 56
10, 11, 58, 60, 11, 12, 56, 59, 56, 59, 13, 10, 57, 59, 12, 9
11, 12, 57, 59, 10, 11, 57, 60, 57, 60, 12, 9, 56, 58, 13, 10
42, 43, 1, 3, 65, 66, 24, 27, 27, 24, 67, 68, 4, 2,
44, 45
1, 2, 65, 67, 24, 25, 42, 45, 45, 42, 26, 27, 68, 66, 3,
4
5, 2, 67, 65, 24, 21, 48, 45, 48, 45, 22, 23, 66, 64, 3,
4
24, 21, 48, 46, 5, 2, 67, 64, 67, 64, 3, 4, 47,
45, 22, 23
39, 40, 2, 0, 68, 69, 32, 29, 29, 32, 66, 67, 1, 3,
37, 38
2, 3, 68, 66, 31, 32, 40, 37, 37, 40, 29, 30, 67, 69, 0,
1
列の合計
552, 552, 552,
552, 552, 552, 552, 552, 552, 552, 552, 552, 552, 552, 552,
552
上の商の平方数
4624, 4761, 961, 841, 1521, 1600, 9, 0, 0,
9, 1369, 1444, 900, 1024, 4356, 4489
961, 1024, 1521, 1369, 4, 9, 4761, 4356, 4356, 4761,
0, 1, 1444, 1600, 841, 900
4489, 4096, 576, 484, 2304, 2025, 25, 4, 25, 4,
2116, 2209, 529, 441, 4225, 4356
2304, 2025, 25, 9, 4489, 4096, 576, 441, 576, 441,
4225, 4356, 16, 4, 2116, 2209
4225, 4356, 576, 676, 1764, 1849, 1, 16, 16, 1,
1936, 2025, 729, 625, 4489, 4624
576, 625, 1764, 1936, 1, 4, 4225, 4624, 4624, 4225, 9,
16, 2025, 1849, 676, 729
3364, 3481, 121, 169, 3249, 3364, 81, 144, 81, 144, 3481, 3136, 100,
144, 3600, 3249
3249, 3364, 100,
144, 3364, 3481, 100, 169, 100, 169, 3600, 3249, 81, 121, 3481, 3136
100,
121, 3364, 3600, 121, 144, 3136, 3481, 3136, 3481, 169, 100, 3249, 3481, 144,
81
121, 144, 3249, 3481, 100, 121, 3249, 3600, 3249, 3600, 144, 81, 3136,
3364, 169, 100
1764, 1849, 1, 9, 4225, 4356, 576, 729, 729,
576, 4489, 4624, 16, 4, 1936, 2025
1, 4, 4225, 4489, 576, 625, 1764, 2025, 2025, 1764,
676, 729, 4624, 4356, 9, 16
25, 4, 4489, 4225, 576, 441, 2304, 2025, 2304, 2025,
484, 529, 4356, 4096, 9, 16
576, 441, 2304, 2116, 25, 4, 4489, 4096, 4489, 4096,
9, 16, 2209, 2025, 484, 529
1521, 1600, 4, 0, 4624, 4761, 1024, 841, 841, 1024, 4356,
4489, 1, 9, 1369, 1444
4, 9, 4624, 4356, 961, 1024, 1600, 1369, 1369, 1600,
841, 900, 4489, 4761, 0, 1
列の合計
27904, 27904, 27904,
27904, 27904, 27904, 27920, 27920, 27920, 27920, 27904, 27904, 27904, 27904,
27904, 27904
上の商の立方数
314432, 328509, 29791, 24389, 59319, 64000, 27, 0,
0, 27, 50653, 54872, 27000, 32768, 287496,
300763
29791, 32768, 59319, 50653, 8, 27, 328509,
287496, 287496, 328509, 0, 1, 54872,
64000, 24389, 27000
300763, 262144, 13824, 10648, 110592, 91125, 125, 8,
125, 8, 97336, 103823, 12167, 9261, 274625, 287496
110592, 91125, 125, 27, 300763, 262144, 13824, 9261,
13824, 9261, 274625, 287496, 64, 8, 97336,
103823
274625, 287496, 13824, 17576, 74088, 79507, 1, 64,
64, 1, 85184, 91125, 19683, 15625, 300763,
314432
13824, 15625, 74088, 85184, 1, 8, 274625,
314432, 314432, 274625, 27, 64, 91125, 79507, 17576,
19683
195112, 205379, 1331, 2197, 185193, 195112, 729, 1728, 729,
1728, 205379, 175616, 1000, 1728, 216000, 185193
185193, 195112, 1000, 1728, 195112, 205379, 1000, 2197, 1000, 2197,
216000, 185193, 729, 1331, 205379, 175616
1000, 1331, 195112, 216000, 1331, 1728, 175616, 205379, 175616, 205379,
2197, 1000, 185193, 205379, 1728, 729
1331, 1728, 185193, 205379, 1000, 1331, 185193, 216000, 185193, 216000,
1728, 729, 175616, 195112, 2197, 1000
74088, 79507, 1, 27, 274625, 287496, 13824,
19683, 19683, 13824, 300763, 314432, 64, 8,
85184, 91125
1, 8, 274625, 300763, 13824, 15625,
74088, 91125, 91125, 74088, 17576, 19683, 314432, 287496, 27,
64
125, 8, 300763, 274625, 13824, 9261, 110592, 91125,
110592, 91125, 10648, 12167, 287496, 262144, 27, 64
13824, 9261, 110592, 97336, 125, 8, 300763, 262144, 300763,
262144, 27, 64, 103823, 91125, 10648, 12167
59319, 64000, 8, 0, 314432, 328509,
32768, 24389, 24389, 32768, 287496, 300763, 1, 27,
50653, 54872
8, 27, 314432, 287496, 29791, 32768, 64000,
50653, 50653, 64000, 24389, 27000, 300763, 328509, 0,
1
列の合計
1574028, 1574028, 1574028,
1574028, 1574028, 1574028, 1575684, 1575684, 1575684, 1575684, 1574028, 1574028,
1574028, 1574028, 1574028,
1574028
という思ってもない法則が成立していた。（ただし平方と立方での一部＜４カ所＞が異なる。）
なお、行に関する和は法則を持っていなかった。作った人は、この事も意識して数を集めた
に違いない。（倍率が不思議な数であった訳はここにある。）作って頂いた剰余と商のパター
ンをじっくりと眺めて更に考えていきたいと思います。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１２月４日付け）
元の行列Pを、P＝R＋17Q と書いた時に前回ではRの要素を 0〜16 としましたが、以下の
ように調整してみたところ面白いことがわかりました。
行列R(余り):
38,
67, 46, 3, 43, 66, 57, 10, 11, 58, 2, 25, 22, 65, 1, 30
38, 67, 46, 3, 43,
66, 57, 10, 11, 58, 2, 25, 22, 65, 1, 30
67, 1, 65, 22, 66, 2, 58, 11, 57,
10, 25, 43, 46, 3, 30, 38
67, 1, 65, 22, 66, 2, 58, 11, 57, 10, 25, 43, 46,
3, 30, 38
1, 30, 3, 46, 2, 25, 10, 57, 58, 11, 43, 66, 65, 22, 38, 67
1,
30, 3, 46, 2, 25, 10, 57, 58, 11, 43, 66, 65, 22, 38, 67
30, 38, 22, 65, 25,
43, 11, 58, 10, 57, 66, 2, 3, 46, 67, 1
30, 38, 22, 65, 25, 43, 11, 58, 10,
57, 66, 2, 3, 46, 67, 1
30, 38, 22, 65, 25, 43, 11, 58, 10, 57, 66, 2, 3, 46,
67, 1
30, 38, 22, 65, 25, 43, 11, 58, 10, 57, 66, 2, 3, 46, 67, 1
1, 30,
3, 46, 2, 25, 10, 57, 58, 11, 43, 66, 65, 22, 38, 67
1, 30, 3, 46, 2, 25, 10,
57, 58, 11, 43, 66, 65, 22, 38, 67
67, 1, 65, 22, 66, 2, 58, 11, 57, 10, 25,
43, 46, 3, 30, 38
67, 1, 65, 22, 66, 2, 58, 11, 57, 10, 25, 43, 46, 3, 30,
38
38, 67, 46, 3, 43, 66, 57, 10, 11, 58, 2, 25, 22, 65, 1, 30
38, 67, 46,
3, 43, 66, 57, 10, 11, 58, 2, 25, 22, 65, 1, 30
行列Q(商):
66, 66, 29,
29, 37, 37, 0, 0, 0, 0, 37, 37, 29, 29, 66, 66
29, 29, 37, 37, 0, 0, 66, 66,
66, 66, 0, 0, 37, 37, 29, 29
64, 64, 21, 21, 45, 45, 2, 2, 2, 2, 45, 45, 21,
21, 64, 64
45, 45, 2, 2, 64, 64, 21, 21, 21, 21, 64, 64, 2, 2, 45, 45
65,
65, 24, 24, 42, 42, 1, 1, 1, 1, 42, 42, 24, 24, 65, 65
24, 24, 42, 42, 1, 1,
65, 65, 65, 65, 1, 1, 42, 42, 24, 24
57, 57, 10, 10, 56, 56, 9, 9, 9, 9, 56,
56, 10, 10, 57, 57
56, 56, 9, 9, 57, 57, 10, 10, 10, 10, 57, 57, 9, 9, 56,
56
9, 9, 57, 57, 10, 10, 56, 56, 56, 56, 10, 10, 57, 57, 9, 9
10, 10, 56,
56, 9, 9, 57, 57, 57, 57, 9, 9, 56, 56, 10, 10
42, 42, 1, 1, 65, 65, 24, 24,
24, 24, 65, 65, 1, 1, 42, 42
1, 1, 65, 65, 24, 24, 42, 42, 42, 42, 24, 24,
65, 65, 1, 1
2, 2, 64, 64, 21, 21, 45, 45, 45, 45, 21, 21, 64, 64, 2,
2
21, 21, 45, 45, 2, 2, 64, 64, 64, 64, 2, 2, 45, 45, 21, 21
37, 37, 0, 0,
66, 66, 29, 29, 29, 29, 66, 66, 0, 0, 37, 37
0, 0, 66, 66, 29, 29, 37, 37,
37, 37, 29, 29, 66, 66, 0,
0
これらの行列は良く似ています。しかも、平方、立法ともに魔方陣になっていると思います。
その背景は・・・・と調べてみて発見したのですが、k≦3までの自然数 k に対して、次の恒等
式が成立します。(k=4では無理)
(n+33)k+(n+4)k+(n-4)k+(n-33)k＝(n+32)k+(n+9)k+(n-9)k+(n-32)k
＝(n+31)k+(n+12)k+(n-12)k+(n-31)k＝(n+24)k+(n+23)k+(n-23)k+(n-24)k
なるほど！うまくできているなあ！ と感心です。
(1105＝5*13*17 が２つの平方の和で４通りに表せることがさらに背景です)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１２月４日付け）
余りのパターンに法則性を感じられたのを、商の行列にも求めるためにズラス発想を持た
れたのは流石だなと感心しました。
（これは倍率の中の組合せのうち最小なものに合わせることなんですね。）
こうして手に入る商と余りの行列を見ていて、昔、一般に、４Ｎ×４Ｎ魔方陣を作る方法で
N=1のとき
| |
A行列
0,1,2,3
3,2,1,0
3,2,1,0
0,1,2,3 |
|
B行列（=Aの転置)
0,3,3,0
1,2,2,1
2,1,1,2
3,0,0,3 |
として、4*A+B+1の計算から魔方陣を構成
| |
01,08,12,13
14,11,07,02
15,10,06,03
04,05,09,16 |
N=2のとき
| |
A行列
0,1,2,3,4,5,6,7
7,6,5,4,3,2,1,0
0,1,2,3,4,5,6,7
7,6,5,4,3,2,1,0
7,6,5,4,3,2,1,0
0,1,2,3,4,5,6,7
7,6,5,4,3,2,1,0
0,1,2,3,4,5,6,7 |
|
B行列(=Aの転置)
0,7,0,7,7,0,7,0
1,6,1,6,6,1,6,1
2,5,2,5,5,2,5,2
3,4,3,4,4,3,4,3
4,3,4,3,3,4,3,4
5,2,5,2,2,5,2,5
6,1,6,1,1,6,1,6
7,0,7,0,0,7,0,7 |
として、8*A+B+1の計算から魔方陣を構成
| |
01,16,17,32,40,41,56,57
58,55,42,39,31,18,15,02
03,14,19,30,38,43,54,59
60,53,44,37,29,20,13,04
61,52,45,36,28,21,12,05
06,11,22,27,35,46,51,62
63,50,47,34,26,23,10,07
08,09,24,25,33,48,49,64 |
これの延長として、N=4のとき
| |
A行列
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
15,14,13,12,11,10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15
00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15 |
を用いて構成していけるという昔の経験していたパターンと繋がったのでした。まさに空舟さ
んが提示された商行列と余り行列から、１７×（商行列）＋（余り行列）を構成することで、ハ
イドンの三重奏はできあがってきました。
ところで、空舟さんが紹介された等式は見たことがありませんでした。まだ詳しく調べてい
ませんが、k=1,2,3で成り立つなんてすごいですね。
（1k+6k+7k+23k+24k+30k+38k+47k+54k+55k=2k+3k+10k+19k+27k+33k+34k+50k+51k+56k も
k=1,2,3,4,5,6,7,8で一致する恒等式だけど利用できないですかね？）
ここ一ヶ月くらいもやもやしていたのが晴れ渡っていく感覚です。空舟さんが示された恒等
式に類似するものが存在しないか探すことにしてみます。
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１２月４日付け）
1からn2までの数によるn×nの魔方陣
3x3 商 余り(mod 3)
2 9 4 0 2 1 2 3 1
7 5 3 2 1 0 1 2 3
6 1 8 1 0 2 3 1 2
和15=3*3+6 a=3 b=6
魔法数(1+2+ … +9)/3=45/3=15より、3a+b=15、a+b=9 から、a=3、b=6
4x4 商 余り(mod 7)
1 15 14 4 0 2 1 0 1 1 7 4
12 6 7 9 1 0 1 1 5 6 0 2
8 10 11 5 1 1 1 0 1 3 4 5
13 3 2 16 1 0 0 2 6 3 2 2
和34=3*7+13 a=3 b=13
魔法数(1+2+ … +16)/4=136/4=34より、7a+b=34、a+b=16 から、a=3、b=13
また、
●mod 3
魔法数(1+2+ … +16)/4=136/4=34より、3a+b=34、a+b=16 から、a=9、b=7
4x4 商 余り(mod 3)
1 15 14 4 0 5 4 0 1 0 2 4
12 6 7 9 3 1 2 3 3 3 1 0
8 10 11 5 2 3 3 1 2 1 2 2
13 3 2 16 4 0 0 5 1 3 2 1
和34=9*3+7 a=9 b=7
●mod
4（GAIさんが提示された行列と式に相当します）
魔法数(1+2+ … +16)/4=136/4=34より、4a+b=34、a+b=16 から、a=6、b=10
4x4 商 余り(mod 4)
1 15 14 4 0 3 3 0 1 3 2 4
12 6 7 9 2 1 1 2 4 2 3 1
8 10 11 5 1 2 2 1 4 2 3 1
13 3 2 16 3 0 0 3 1 3 2 4
和34=6*4+10 a=6 b=10
と求めることができる。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１２月４日付け）
関係式 (n+33)k+(n+4)k+(n-4)k+(n-33)k＝(n+32)k+(n+9)k+(n-9)k+(n-32)k
＝(n+31)k+(n+12)k+(n-12)k+(n-31)k＝(n+24)k+(n+23)k+(n-23)k+(n-24)k
について確認しました。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１２月４日付け）
行列Rではn=34、行列Qではn=33を適用できます。
攻略法さんが、３の倍数以外の奇数の魔方陣について考察されました。
（平成２４年１２月５日付け）
n=7のとき、行列Mとその転置行列Mｔをn(=7)倍した行列(n*Mt）を足す。
行列M
0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 0 1
4 5 6 0 1 2 3
6 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 0
3 4 5 6 0 1 2
5 6 0 1 2 3 4
|
|
転置行列Mt
0 2 4 6 1 3 5
1 3 5 0 2 4 6
2 4 6 1 3 5 0
3 5 0 2 4 6 1
4 6 1 3 5 0 2
5 0 2 4 6 1 3
6 1 3 5 0 2 4 |
|
行列(n*Mt）
0 14 28 42 7 21 35
7 21 35
0 14 28 42
14 28 42 7 21 35
0
21 35 0 14 28 42
7
28 42 7 21 35 0 14
35 0 14 28 42 7 21
42
7 21 35
0 14 28 |
行列（M+n*Mt）
0 15 30 45 11 26 41
9 24 39
5 20 28 43
18 33 48 7 22 37 3
27 35
1 16 31 46 12
29 44 10 25 40 6 14
38 4 19 34 42
8 23
47 13 21 36 2 17 32
Mのつくり方（n×nの場合）
0 1 2 3 4 …
n-1 0から(n-1)の数字を並べる
2 3 4 … n-1 0 1 1行目を2個ずらしたものを並べる
4 … n-1 0 1 2
3 2行目を2個ずらしたものを並べる
：
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２４年１２月５日付け）
空舟さんのヒントを得て、理想にはほど遠いのですが、平方、立方、４乗も満たす魔方陣
５×５を構成してみました。
01,
18, 20, 47, 49
20, 47, 49, 01, 18
49, 01, 18, 20, 47
18, 20, 47, 49,
01
47, 49, 01, 18, 20 |
|
53, 07, 36, 05, 34
36, 05, 34, 53,
07
34, 53, 07, 36, 05
07, 36, 05, 34, 53
05, 34, 53, 07,
36 |
更に、平方、立方、４乗、５乗を満たす１０×１０の魔方陣（もどき）を作ってみました。
55, 53, 72,
36, 74, 34, 101, 7, 103, 5
5, 55, 53, 72, 36, 74,
34, 101, 7, 103
103, 5, 55, 53, 72, 36, 74, 34, 101,
7
7, 103, 5, 55, 53, 72, 36, 74, 34, 101
101,
7, 103, 5, 55, 53, 72, 36, 74, 34
34,
101, 7, 103, 5, 55, 53, 72, 36, 74
74, 34, 101, 7, 103, 5, 55, 53, 72, 36
36, 74,
34, 101, 7, 103, 5, 55, 53, 72
72, 36, 74,
34, 101, 7, 103, 5, 55, 53
53, 72, 36, 74, 34, 101,
7, 103,
5, 55
どなたか、これを元にすべて異なる数で構成できないか挑戦してもらいたい。
（いろいろ試したが手段が見つからず・・・。可能かどうかも判別できずにいます。）
ＧＡＩ さんが「自家製三重魔方陣」を構成されました。（平成２４年１２月６、９日付け）
52+402=162+372=202+352=282+292(=1625) という等式から次の様に、それぞれの行、列
での和、その数の２乗での平方和、その数の３乗での立方和ですべて成立する魔方陣（多
重方陣）が構成できました。ポイントは上記の様に４通りに平方和で表せる組合せを見つけ
ることで無数に作ることができます。
ちょっと調べただけでも上記の等式の他にも
62+432=112+422=212+382=272+342(=1885)、32+462=102+452=192+422=302+352(=2125)
12+472=192+432=232+412=292+372(=2210)、82+492=162+472=232+442=282+412(=2465)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
など（５の倍数で探せば、コンピュータで楽に探してくれます。）
異なる２５６個の数字を使って、次のように配列する。
|1454,1459, 329, 274,1358,1381, 237, 188,
231, 280,1297,1320, 309, 364,1389,1394 |
| 349, 354,1349,1294, 253,
276,1427,1378,1421,1470, 192, 215,1329,1384, 284, 289 |
|1629,1559, 704, 649,1041, 957, 110, 61, 67, 18,
980,1018, 669, 614,1564,1624 |
|1034, 964, 109, 54,1636,1552, 705, 656, 662, 613,1575,1613, 74,
19, 969,1029 |
|1508,1513, 461, 516,1110,1133, 69, 118, 161, 112,1171,1194,
551, 496,1573,1578 |
| 471, 476,1107,1162, 73, 96,1497,1546,1589,1540, 134,
157,1197,1142, 536, 541 |
|1581,1641, 768, 823, 861, 899, 44, 93, 1, 50, 922, 838, 733, 788,1646,1576 |
| 850, 910, 37, 92,1592,1630, 775, 824, 732, 781,1653,1569,
2, 57, 915, 845 |
| 17, 77,1601,1656, 759, 797, 877, 926, 834, 883, 820,
736,1566,1621, 82, 12 |
| 748, 808, 870, 925, 28, 66,1608,1657,1565,1614, 89,
5, 835, 890, 813, 743 |
|1117,1122, 70, 125,1501,1524, 460, 509, 552, 503,1562,1585, 160,
105,1182,1187 |
| 80, 85,1498,1553, 464, 487,1106,1155,1198,1149, 525,
548,1588,1533, 145, 150 |
| 99, 29,1639,1584, 701, 617,1045, 996,1002, 953, 640,
678,1604,1549, 34, 94 |
| 694, 624,1044, 989, 106, 22,1640,1591,1597,1548, 45, 83,1009, 954, 629, 689 |
|1369,1374, 244,
189,1443,1466, 322, 273, 316, 365,1382,1405, 224, 279,1304,1309 |
| 264,
269,1434,1379, 338, 361,1342,1293,1336,1385, 277, 300,1414,1469, 199, 204
|
当初、らすかるさんから数字の重複を指摘され、解消すべく配列を入れ替え、その部分の
重複を訂正して組み上げてみると、今度は他の部分の数字の重複が起こってしまい、あち
らを立てれば、こちらが立たずの状態が起こってしまい（これが魔方陣の魔たる所以であろ
う。）意外とこの問題は奥が深いものを含んでいました。一つ一つ構成してみては、数字の
重複をチェックする作業（これでかなりの時間を必要とする。）にあけくれ、ほぼ３日間やり
続けていた。試行錯誤を数十回繰り返すも（組合せをいろいろ試してみた。）解決には至ら
ずあきらめかけたとき、解決ができるかも知れない糸口にふと思いつき、その予想に従って
作業を進めたところ遂にこの結果に辿り着いたことでした。（ふ〜）
今は、確信を持っていろいろなパターンで構成できる自信があります。
（現在はひょっとしたらもっと小さいサイズの魔方陣で同じようなものが出来るんではないだ
ろうかなという新たな挑戦をしてみたいと思っています。）
この場を借り、いろいろな人に教えてもらいながらこのテーマを理解できたことがうれしい
です。ありがとうございました。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１２月９日付け）
数字の重複をチェックする方法は、色々有りそうですが、割と簡単な方法として、エクセル
のMODE関数が利用できます。
（対象となるデータに重複する値が含まれていない場合だけエラー値 #N/A が返されます。 ）
今後に役立てばと思います。
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２４年１２月１５日付け）
ハイドンの驚愕三重奏（16×16マトリックス）での２５６個の数字からダイエットに成功した
１４４個の数字からなる12×12のマトリックスにスリム化しています。多分これが限界だと思
います。
1,
22, 33, 41, 62, 66, 79, 83,104,112,123,144
9,119, 45,115,107, 93, 52, 38,
30,100, 26,136
75,141, 35, 48, 57, 14,131, 88, 97,110, 4, 70
74, 8,106, 49, 12, 43,102,133, 96, 39,137, 71
140,101,124, 42, 60, 37,108,
85,103, 21, 44, 5
122, 76,142, 86, 67,126, 19, 78, 59, 3, 69, 23
55, 27, 95,135,130, 89, 56, 15, 10, 50,118, 90
132,117, 68, 91, 11, 99,
46,134, 54, 77, 28, 13
73, 64, 2,121,109, 32,113, 36, 24,143, 81,
72
58, 98, 84,116,138, 16,129, 7, 29, 61, 47, 87
80, 34,105, 6,
92,127, 18, 53,139, 40,111, 65
51, 63, 31, 20, 25,128, 17,120,125,114, 82,
94
和：870 平方和：83810 立方和：9082800