当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年１０月２７日付け）
１〜９の数字を全部使って、３けたの７の倍数を３つ作りたい。例えば、154、693、728 な
ど。他にあるだろうか？
（答） 攻略法さんが他の解の例をあげられました。（平成２５年１０月２７日付け）
182 + 763 = 945 273 + 546 = 819 357 + 462 = 819
らすかるさんが解の探索に取り組まれました。（平成２５年１０月２７日付け）
全部で156個もありました。
(126,539,784) (126,539,847) (126,574,938) (126,378,945) (126,385,749) (126,385,497)
(126,854,973) (147,532,896) (147,539,826) (147,329,658) (147,392,658) (154,238,679)
(154,273,896) (154,287,693) (154,623,798) (154,623,987) (154,672,938) (154,693,728)
(154,826,973) (168,427,539) (168,497,532) (168,532,749) (168,539,742) (168,245,973)
(168,273,945) (168,294,735) (168,294,357) (168,735,924) (168,357,924) (168,329,574)
(168,392,574) (175,462,938) (175,238,469) (182,469,735) (182,476,539) (182,546,973)
(182,574,693) (182,637,945) (182,763,945) (182,357,469) (189,462,735) (189,476,532)
(189,574,623) (189,273,546) (189,245,763) (189,245,637) (189,357,462) (196,532,784)
(196,532,847) (196,385,742) (196,385,427) (196,238,574) (196,273,854) (196,245,378)
(217,546,938) (217,693,854) (217,385,469) (231,469,875) (231,497,658) (231,546,798)
(231,546,987) (231,574,896) (231,658,749) (231,679,854) (238,497,651) (238,546,791)
(238,546,917) (238,651,749) (245,371,896) (245,637,819) (245,763,819) (245,861,973)
(273,469,581) (273,469,518) (273,546,819) (273,861,945) (287,546,931) (287,315,469)
(294,357,861) (294,378,651) (294,371,658) (294,581,763) (294,581,637) (294,518,763)
(294,518,637) (294,735,861) (329,476,581) (329,476,518) (329,574,861) (329,658,714)
(329,651,784) (329,651,847) (315,427,896) (315,462,798) (315,462,987) (315,469,728)
(315,497,826) (315,742,896) (315,749,826) (357,462,819) (357,469,812) (357,861,924)
(371,658,924) (371,826,945) (378,651,924) (385,462,791) (385,462,917) (385,469,721)
(392,476,581) (392,476,518) (392,574,861) (392,658,714) (392,651,784) (392,651,847)
(427,518,693) (427,539,861) (427,581,693) (427,651,938) (427,658,931) (462,518,973)
(462,581,973) (462,735,819) (462,875,931) (469,735,812) (476,532,819) (476,539,812)
(497,518,623) (497,532,861) (497,581,623) (532,714,896) (532,749,861) (539,714,826)
(539,742,861) (546,721,938) (546,728,931) (546,812,973) (518,623,749) (518,637,924)
(518,693,742) (518,763,924) (574,623,819) (574,693,812) (574,826,931) (581,637,924)
(581,623,749) (581,693,742) (581,763,924) (623,791,854) (623,854,917) (637,812,945)
(651,742,938) (658,742,931) (672,854,931) (693,721,854) (735,861,924) (763,812,945)
全組合せ 9!/3! 通りの1/73で、176．3 ですから、確率よりは低い感じでしょうか。
よおすけからのコメントです。（平成２５年１０月２７日付け）
攻略法さん、らすかるさん、ありがとうございます。これは、去年出した、「平方数を作る２」
の類題です。あっちは1通りしか出なかったのに、今回のは156通りもあるとは思いませんで
した。
ＧＡＩ さんが、らすかるさんの調査に刺激を受けられ、新たな探求をされました。
（平成２５年１０月２８日付け）
＜11の倍数＞
143;275;869 143;275;968 143;286;759 143;286;957 143;572;869 143;572;968
143;682;759 143;682;957 154;297;638 154;297;836 154;638;792 154;792;836
176;385;429 176;385;924 176;429;583 176;583;924 187;253;649 187;253;946
187;264;539 187;264;935 187;352;649 187;352;946 187;462;539 187;462;935
253;649;781 253;781;946 264;539;781 264;781;935 275;341;869 275;341;968
275;396;418 275;396;814 275;418;693 275;693;814 286;341;759 286;341;957
297;451;638 297;451;836 341;572;869 341;572;968 341;682;759 341;682;957
352;649;781 352;781;946 385;429;671 385;671;924 396;418;572 396;572;814
418;539;627 418;539;726 418;572;693 418;627;935 418;726;935 429;517;638
429;517;836 429;583;671 429;638;715 429;715;836 451;638;792 451;792;836
462;539;781 462;781;935 517;638;924 517;836;924 539;627;814 539;726;814
572;693;814 583;671;924 627;814;935 638;715;924 715;836;924 726;814;935
の７２組
＜13の倍数＞
143;286;975 143;572;689 156;234;897 169;273;845 169;754;832 182;364;975
182;546;793 182;754;936 195;273;468 195;364;728 234;689;715 247;351;689
273;416;598 273;546;819 312;468;975 312;546;897 312;689;754 325;416;897
325;689;741 351;624;897 364;572;819 416;832;975 468;715;923 481;572;936
546;871;923 の２５組
＜17の倍数＞
136;459;782 136;748;952 153;289;476 153;629;748 289;374;561 374;816;952
391;425;867 425;731;986 493;527;816 493;561;782 493;578;612 612;748;935
の１２組
＜19の倍数＞
247;361;589 475;836;912 の２組
このあたりがパズルになりそう。
＜23の倍数＞
184;529;736 276;851;943 345;621;897 437;598;621 483;621;759 の５組
ちなみに＜29の倍数＞はただ１組でした。これを皆さんの問題として出題しておきます。
よおすけさんからのコメントです。（平成２５年１０月２９日付け）
＜29の倍数＞で、各位の異なる３けたの数は、
145、174、261、319、348、435、493、638、725、754、783、812、841、928、957、986
の16個。このうち、条件を満たすのは、「261、348、957」のみ。1組しかないが本当なら・・・。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１０月２９日付け）
GAIさんが調査されたものの全体です。(以下で、0組のものは除く)
1の倍数: 60480組 2の倍数: 2880組 3の倍数: 7992組 4の倍数: 240組
6の倍数: 336組 7の倍数: 156組 8の倍数: 36組 9の倍数: 648組 11の倍数: 72組
12の倍数: 32組 13の倍数: 25組 14の倍数: 8組 16の倍数: 4組 17の倍数: 12組
18の倍数: 32組 19の倍数: 2組 21の倍数: 23組 22の倍数: 4組 23の倍数: 5組
24の倍数: 3組 26の倍数: 1組 27の倍数: 81組 28の倍数: 1組 29の倍数: 1組
32の倍数: 1組 34の倍数: 2組 39の倍数: 6組 41の倍数: 4組 43の倍数: 3組
47の倍数: 1組 48の倍数: 2組 54の倍数: 4組 63の倍数: 1組 64の倍数: 1組
68の倍数: 1組 69の倍数: 2組 71の倍数: 1組 73の倍数: 1組 81の倍数: 2組
87の倍数: 1組 91の倍数: 1組 96の倍数: 1組 107の倍数: 1組 109の倍数: 1組
123の倍数: 1組 129の倍数: 1組 192の倍数: 1組 219の倍数: 1組
273の倍数: 1組 327の倍数: 1組
3,9,18,21,27の倍数が突出して多いですね。この中で簡単な計算式で求まるのは
1の倍数: 9Ｐ6=60480 2の倍数: 4Ｃ3×6!=2880 3の倍数: (3!)3+(3!)5=7992
4の倍数: 2×5Ｐ2×3Ｐ2=240 6の倍数: 24+24×{(3!)2-4×22}=336
8の倍数: 3Ｐ2×3!=36 9の倍数: 3×(3!)3=648 12の倍数: 25=32 18の倍数: 25=32
ぐらいでしょうか。
（コメント） 場合の数のリストアップもさることながら、らすかるさんの示された計算式にも十
分食指が動かされますね！
順列・組合せの問題として考えてみました。
1の倍数: 9Ｐ6=60480
（計算式の考え方） 十の位、一の位に用いる６個の数字を選び、残りの３個の数字が百の
位に入る。百の位の３個の数字は任意に固定する。６個の数字の順列を
考え、先頭から２つずつ順に割り振る。
よって、 9Ｃ6・6!=9Ｐ6=60480（通り）
2の倍数: 4Ｃ3×6!=2880
（計算式の考え方） 一の位に入る偶数を、２、４、６、８の４個から３個選ぶ。その３個の数
字は任意に固定する。残り６個の数字の順列を考え、先頭から２つずつ
順に割り振る。 よって、 4Ｃ3×6!=2880（通り）
3の倍数: (3!)3+(3!)5=(3!)3(1+(3!)2)=7992
（計算式の考え方） 3の倍数は、各位の数の和が3の倍数である。各位の数それぞれを3を
法として考えると、3桁の3の倍数の3つの数を作る数字の組合せとして、
000 111 222 または 012 012 012
の場合のみである。
「000 111 222」の数字の選び方は、369 147 258 の１通りしかない。
「012 012 012」の数字の選び方は、3、6、9を固定すれば、(3!)2通りある。
後は、選ばれた3つの数の中での順列を考えればよい。
よって、求める場合の数は、 (3!)3(1+(3!)2)=(3!)3+(3!)5=7992（通り）
4の倍数: 2×5Ｐ2×3Ｐ2=2×5!=240
（計算式の考え方） 2桁の数で4の倍数が、
12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、92、96
であることから、
一の位が2または6の場合は、十の位は奇数
一の位が4または8の場合は、十の位は偶数
従って、4の倍数となる3桁の3つの数の組合せは、
奇奇2 と 奇奇6 と (奇48 または 奇84)
しかない。ここで、(奇48 または 奇84)のどちらにするかで2通り。
5つの「奇」に、奇数 13579 の何れかが並ぶので、5!=120
よって、求める場合の数は、 2×5!=240
（コメント） 計算式は「2×5!」の方が簡明だと思うのですが、計算式「2×5Ｐ2×3Ｐ2」は、5個
の奇数から2つ選んで「奇奇2」を決め、その１通りに対して、残り3個の奇数から2
つ選んで「奇奇6」を決めるという考え方ですね！
6の倍数: 24+24×{(3!)2-4×22}=336
（計算式の考え方） 6の倍数であるためには、2の倍数かつ3の倍数である。
3の倍数は、各位の数の和が3の倍数である。各位の数それぞれを3を法として考えると、
3桁の3の倍数の3つの数を作る数字の組合せとして、
000 111 222 または 012 012 012
の場合のみである。
「000 111 222」の数字の選び方は、369 147 258 の１通りしかない。
この中で、2の倍数となるのは、 (39)6 (17)4 (58)2 または (25)8
よって、この場合の数は、 2×2×2×2=24=16（通り）
「012 012 012」の数字の選び方は、3、6、9を固定すれば、(3!)2=36（通り）ある。
この中には、3つの数字がすべて奇数となる場合の数 2×2×(2+2)=22×4=16（通り）が含
まれる。
よって、数字の組合せは、 (3!)2-22×4=36-16=20（通り）
そのうちの1通りに対して、
奇(0)奇(1)2(2) と 奇(0)奇(1)8(2) と (奇(2)4(1)6(0) または 奇(2)6(0)4(1))
ここで、 奇(0)=3、9 奇(1)=1、7 奇(2)=5
後は、数字の並べ方を考えて、
(奇(2)4(1)6(0) または 奇(2)6(0)4(1)) ・・・ 2通り
奇(2)、4(1)の順列（奇(2)、6(1)の順列） ・・・ 2通り
奇(0)奇(1)2(2) の奇(0)奇(1)の順列 ・・・ 2通り
奇(0)奇(1)8(2)の奇(0)奇(1)の順列 ・・・ 2通り
より、 2×2×2×2=24=16（通り） なので、「012 012 012」の場合の数は、
24（(3!)2-22×4）=320（通り）
従って、6の倍数となる3つの数の組合せは、全部で、 24+24（(3!)2-22×4）=336（通り）
（コメント） 何とか計算式をでっち上げてみました！多分、合っているかな？一番最後に、
6の倍数の計算式の確認が終了しました。（平成２５年１１月４日付け）
8の倍数: 3Ｐ2×3!=36
（計算式の考え方） 8の倍数は、4の倍数でもあるので、下2桁の数は、
12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、92、96
の何れかである。 このとき、
一の位が2または6の場合は、十の位は奇数
一の位が4または8の場合は、十の位は偶数
となっている。従って、8の倍数となる3桁の3つの数の組合せは、
奇奇2 と 奇奇6 と (奇48 または 奇84)
しかあり得ない。「奇48」が8の倍数となる奇数は存在しない。従って、
奇奇2 と 奇奇6 と *84
「*84」が8の倍数となる*は、1、3、5、7、9 の何れでもよい。
「ａｂ2」 が8の倍数になるのは、2ａ+ｂ+1≡0 （ｍｏｄ 4）
ａｂ=15 19 31 35 39 51 59 71 75 79 91 95
「cd6」 が8の倍数になるのは、2ａ+ｂ+3≡0 （ｍｏｄ 4）
cd=13 17 37 53 57 73 93 97
*=1 のとき、 （ａｂ、cd）=（35、97）、（39、57）、（59、37）、（59、73）、（75、93）、（79、53）、
（95、37）、（95、73）
*=3 のとき、 （ａｂ、cd）=（15、97）、（19、57）、（51、97）、（59、17）、（91、57）、（95、17）
*=5 のとき、 （ａｂ、cd）=（19、37）、（19、73）、（31、97）、（39、17）、（71、93）、（79、13）、
（91、37）、（91、73）
*=7 のとき、 （ａｂ、cd）=（15、93）、（19、53）、（51、93）、（59、13）、（91、53）、（95、13）
*=9 のとき、 （ａｂ、cd）=（15、37）、（15、73）、（31、57）、（35、17）、（51、37）、（51、73）、
（71、53）、（75、13）
以上から、求める場合の数は、8+6+8+6+8=36（通り） である。
（コメント） らすかるさんの計算式 ： 3Ｐ2×3!=36 は如何？
可能性は、上記の計算で、b=1、5、9 の3通りで、その1通りに対して、d=3、7 の2通り
その1通りに対して、残り3つの奇数を並べればよいから、求める場合の数は、
3×2×3！=36（通り） としたのかな？（多分！）
9の倍数: 3×(3!)3=648
（計算式の考え方） 各位の数の和が９の倍数のとき、９の倍数になる。
１２６ ３７８ ４５９
１３５ ２７９ ４６８
１８９ ２３４ ５６７
の３通りしか組み分けが存在しないので、求める場合の数は、
3×(3!)3=648 となる。
12の倍数: 25=32
（計算式の考え方） ３桁の１２の倍数は、全部で４０個
132 156 168 192 216 264 276 312 324 348 372 384 396
432 456 468 492 516 528 564 576 612 624 648 672 684
732 756 768 792 816 852 864 876 912 924 936 948 972
984
これらから、異なる数字を用いた３つの数を選択する場合の数が、３２通りあるわけだが、
多分らすかるさんの数式は別な考え方なのだろう。
計算式のことは置いておいて、地道に泥臭く解を探索してみよう。らすかるさんの考え方
に辿り着くヒントが得られるかもしれないと信じて．．．。
１２の倍数は３の倍数かつ４の倍数。４の倍数は下２桁が４の倍数。２桁の数で４の倍数は、
１２、１６、２４、２８、３２、３６、４８、５２、５６、６４、６８、７２、７６、８４、９２、９６
上記の数に百の位を追加して３の倍数を作る。
３１２、６１２、９１２、２１６、５１６、８１６、３２４、６２４、９２４、５２８、１３２、４３２、７３２、９３６、
３４８、６４８、９４８、８５２、１５６、４５６、７５６、２６４、５６４、８６４、１６８、４６８、７６８、３７２、
６７２、９７２、２７６、５７６、８７６、３８４、６８４、９８４、１９２、４９２、７９２、３９６
３１２と組になる可能性があるもの
６４８、９４８、４５６、７５６、５６４、８６４、４６８、７６８、５７６、８７６、６８４、９８４
この中から１２の倍数となる３桁の３つの数の組を取り出す。
３１２、９４８、７５６ ３１２、９４８、５７６ ３１２、７５６、９８４ ３１２、５７６、９８４
６１２と組になる可能性があるものは、３４８、９４８、３８４、９８４ で、この中から１２の倍
数となる３桁の３つの数の組は取り出せない。
以下同様にして、９１２と組になる可能性があるものから取り出すと、
９１２、３４８、７５６ ９１２、３４８、５７６ ９１２、７５６、３８４ ９１２、５７６、３８４
２１６と組になる可能性があるものからは取り出せない。
５１６と組になる可能性があるものから取り出すと、
５１６、７３２、９４８ ５１６、７３２、９８４ ５１６、３４８、９７２、 ５１６、３４８、７９２
５１６、９４８、３７２ ５１６、３７２、９８４ ５１６、９７２、３８４ ５１６、３８４、７９２
８１６と組になる可能性があるものからは取り出せない。
３２４と組になる可能性があるものからは取り出せない。
６２４と組になる可能性があるものはない。
９２４と組になる可能性があるものからは取り出せない。
５２８と組になる可能性があるものからは取り出せない。
１３２と組になる可能性があるものから取り出すと、
１３２、９４８、７５６ １３２、９４８、５７６ １３２、７５６、９８４ １３２、５７６、９８４
４３２と組になる可能性があるものからは取り出せない。
７３２と組になる可能性があるものから取り出すと、
７３２、９４８、１５６ ７３２、１５６、９８４
９３６と組になる可能性があるものからは、８５２のみで不適。
３４８と組になる可能性があるものから取り出すと、
３４８、１５６、９７２ ３４８、１５６、７９２ ３４８、７５６、１９２ ３４８、５７６、１９２
６４８と組になる可能性があるものからは取り出せない。
９４８と組になる可能性があるものから取り出すと、 ９４８、１５６、３７２
８５２と組になる可能性があるものは、３９６のみで不適。
１５６と組になる可能性があるものから取り出すと、
１５６、３７２、９８４ １５６、９７２、３８４ １５６、３８４、７９２
４５６と組になる可能性があるものからは取り出せない。
７５６と組になる可能性があるものから取り出すと、 ７５６、３８４、１９２
２６４と組になる可能性があるものはない。
５６４と組になる可能性があるものからは取り出せない。
８６４と組になる可能性があるものからは取り出せない。
１６８と組になる可能性があるものからは取り出せない。
４６８と組になる可能性があるものからは取り出せない。
７６８と組になる可能性があるものからは取り出せない。
３７２と組になる可能性があるものからは取り出せない。
６７２と組になる可能性があるものからは取り出せない。
９７２と組になる可能性があるものからは取り出せない。
２７６と組になる可能性があるものからは取り出せない。
５７６と組になる可能性があるものから取り出すと、 ５７６、３８４、１９２
８７６と組になる可能性があるものからは取り出せない。
３８４と組になる可能性があるものからは取り出せない。
６８４と組になる可能性があるものからは取り出せない。
９８４と組になる可能性があるものはない。
１９２と組になる可能性があるものはない。
４９２と組になる可能性があるものはない。
７９２と組になる可能性があるものはない。
３９６と組になる可能性があるものはない。
以上から、１２の倍数となる３桁の３つの数の組は、次の３２通りある。
３１２、９４８、７５６ ３１２、９４８、５７６ ３１２、７５６、９８４ ３１２、５７６、９８４
９１２、３４８、７５６ ９１２、３４８、５７６ ９１２、７５６、３８４ ９１２、５７６、３８４
５１６、７３２、９４８ ５１６、７３２、９８４ ５１６、３４８、９７２ ５１６、３４８、７９２
５１６、９４８、３７２ ５１６、３７２、９８４ ５１６、９７２、３８４ ５１６、３８４、７９２
１３２、９４８、７５６ １３２、９４８、５７６ １３２、７５６、９８４ １３２、５７６、９８４
７３２、９４８、１５６ ７３２、１５６、９８４ ３４８、１５６、９７２ ３４８、１５６、７９２
３４８、７５６、１９２ ３４８、５７６、１９２ ９４８、１５６、３７２ １５６、３７２、９８４
１５６、９７２、３８４ １５６、３８４、７９２ ７５６、３８４、１９２ ５７６、３８４、１９２
（コメント） 上記の３２通りの算出は、地道に大変な手作業でした。これが、らすかるさんの
計算式だと、簡単に、２5＝３２（通り）．．．。とても不思議です。
らすかるさんから計算式について、ご教示頂きました。（平成２５年１１月１日付け）
12の倍数であるためには、まず、4の倍数でなければなりませんので一の位は偶数です。
偶数は、2,4,6,8の4個あり、2桁の数で4の倍数が、
12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、92、96
であることから、
一の位が2または6の場合は、十の位は奇数
一の位が4または8の場合は、十の位は偶数
でなければなりません。従って、12の倍数となる3桁の3つの数の組合せは、
奇奇2 と 奇奇6 と (奇48 または 奇84)
しかあり得ません。（← なるほど！感動しました。）
ここで、(奇48 または 奇84)のどちらにするかで2通りです。…(1)
残る奇数は、1,3,5,7,9 の5個で、「奇48 または 奇84」が3の倍数であるためには、この百の
位は3で割り切れる数でなければなりませんが、1,3,5,7,9 の中で3で割り切れる数は、3と9で
すので、このどちらを選ぶかで2通りです。…(2)
奇奇6の十の位と百の位は足して3の倍数でなければなりませんので、「3と9のうちの残り」
は使えず、あり得る組合せは、5 と (1または7) しかありません。この1,7のどちらを選ぶかで
2通りです。…(3)
残りの数字を奇奇2の十の位と百の位にあてはめれば条件を満たします。
後は、奇奇2と奇奇6の十の位と百の位の入れ替えが2通りずつです。…(4)
従って、(1)〜(4)により、2×2×2×2×2=25（通り）となります。
（コメント） 25（通り）は、とても深い洞察のもとに計算された結果ということが分かりました。
らすかるさんに感謝します。
18の倍数: 25=32
（計算式の考え方） 18の倍数であるためには、9の倍数かつ2の倍数である。
各位の数の和が9の倍数のとき、9の倍数になるので、
126 378 459 135 279 468 189 234 567
の3通りしか組み分けが存在しない。
この中で「135 279 468」の「135」からは、2の倍数は作り得ないから不適。
「126 378 459」について、2の倍数となるためには、末尾が偶数なので、
1(26) (37)8 (59)4 ・・・ 2×2×2×2=16
「189 234 567」について、2の倍数となるためには、末尾が偶数なので、
(19)8 3(24) (57)6 ・・・ 2×2×2×2=16
以上から、 2×2×2×2×2=25=32