当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年１月１７日付け）
以下は成り立つのか？
２の倍数：10,100.…
３の倍数：111,1011.…
４の倍数：100,1100,…
５の倍数：10,100,…
６の倍数：10110,11010,…
７の倍数：111111,11111100,…
８の倍数：1000,10000,…
９の倍数：111111111,1111111110,…
10の倍数：10,110,…
11の倍数：11,1111,…
12の倍数：11100,111000,…
13の倍数：111111,1111110,…
14の倍数：1111110,11111100,…
・・・・・・・・・・・
というように、各０と１から構成される倍数が存在している。
そこで、プログラムを得意とされる方で３０程度までで、０と１からなる倍数のものをそれぞ
れ３個ずつくらい見つけてほしい。
また、これから、
”全ての自然数Ｎ対して必ず０と１からなるＮの倍数が存在する”
という命題は成立できるのか、その証明が可能か示してほしい。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年１月１７日付け）
Nの素因数が2と5だけの場合は明らか。
Nが素因数2、5を含まない場合、1/Nは純循環小数となり、
1/N=m/(10n-1) すなわち、 mN=10n-1
と表せる。右辺は9で割り切れるので、Nが3で割り切れない場合、mが9で割り切れるから、
Nをm/9倍すれば、111…1という数になる。
Nが3で割り切れる場合は、N=3p×M （Mは3で割り切れない自然数）とすれば、Mの倍数
は111…1という数になり、この桁数を3p倍に増やせばNで割り切れる。
従って、Nが素因数2、5を含まない場合、Nで割り切れる111…1 という全桁が1の数が存
在する。Nが素因数2または5を含む場合は、素因数2、5を除外して111…1と表して、それを
10n（nは素因数2、5の多い方）倍すれば条件を満たす。
例 N=43 のとき
1/N=0.[023255813953488372093] （カッコ内の循環）
=23255813953488372093/999999999999999999999
23255813953488372093/9=2583979328165374677 なので
2583979328165374677×43=111111111111111111111
例 N=1107=33×41 のとき
1/41=0.[02439]=2439/99999
2439/9=271 より、 271×41=11111
11111は41で割り切れるので、
111…(15桁)…11は、3×41で割り切れ、
111…(45桁)…11は、32×41で割り切れ、
111…(135桁)…11は、33×41で割り切れる。