７桁の数
６ ２ □ □ ４ ２ ７
が、９９ の倍数になるように、□ □ に入る数を求めよ。
（答） ２４
９９ の倍数ということは、９ かつ １１ の倍数ということ。
９ の倍数ということから、６２ＡＢ４２７ の各位の和は、９ の倍数。
よって、６＋２＋Ａ＋Ｂ＋４＋２＋７＝Ａ＋Ｂ＋２１≡Ａ＋Ｂ＋３ ≡ ０ （ ｍｏｄ ９ ）
０ ≦ Ａ 、Ｂ ≦ ９ なので、３ ≦ Ａ＋Ｂ＋３ ≦ ２１ より、Ａ＋Ｂ＋３ ＝ ９ 、１８
すなわち、 Ａ＋Ｂ ＝ ６ 、１５
同様にして、１１ の倍数ということから、
６−２＋Ａ−Ｂ＋４−２＋７＝Ａ−Ｂ＋１３≡Ａ＋Ｂ＋２ ≡ ０ （ ｍｏｄ １１ ）
０ ≦ Ａ 、Ｂ ≦ ９ なので、−７ ≦ Ａ−Ｂ＋２ ≦ １１ より、Ａ−Ｂ＋２ ＝ ０ 、１１
すなわち、 Ａ−Ｂ ＝ −２ 、９
これらのうち、Ａ、Ｂ が整数となる組合せは、
（ Ａ＋Ｂ ， Ａ−Ｂ ） ＝（ ６ ，−２ ）、（ １５ ，９ ）
０ ≦ Ａ 、Ｂ ≦ ９ なので、（ Ａ＋Ｂ ， Ａ−Ｂ ） ＝（ １５ ，９ ） は不適。
（ Ａ＋Ｂ ， Ａ−Ｂ ） ＝（ ６ ，−２ ） より、Ａ＝２ 、Ｂ＝４
（別解） １０2 ≡ １ （ ｍｏｄ ９９ ）に注意して、
６２ＡＢ４２７≡６＋２０＋Ａ＋１０Ｂ＋４＋２０＋７＝Ａ＋１０Ｂ＋５７≡ ０ （ ｍｏｄ ９９ ）
５７≦Ａ＋１０Ｂ＋５７≦９９＋５７ なので、 Ａ＋１０Ｂ＋５７＝９９
よって、Ａ＋１０Ｂ＝４２ となるので、Ａ＝２ 、Ｂ＝４
（コメント） 別解の方が簡単でしたね！