１００の倍数　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　３以上９９以下の奇数ａで、ａ²−ａ が１００で割り切れるものを全て求めよ。











































（答）　ａ＝３、５、・・・、９９をａ²−ａ に代入して確かめてもよいと思うが、４９回の計算が必
　　　要で大変かな？

　次のように解くのが最善でしょう。

　ａ²−ａ ＝ａ（ａ−１）　において、ａとａ−１は互いに素である。１００＝２²×５²　に注意して、

　ａは奇数から、ａ−１は偶数となるので、ａ−１は２²で割り切れる。

　ａ−１が５²で割り切れると仮定すると、　ａ−１＝２²×５²×ｋ　（ｋは自然数）

　このとき、ａ≧１０１となるが、ａ≦９９であることに矛盾するので、ａの方が５²で割り切れる。

　よって、ａ＝２５ｍ　（ｍは自然数）　と書けて、　３≦２５ｍ≦９９　から、ｍ＝１、２、３

　ａ＝２５のとき、ａ²−ａ＝６２５−２５＝６００　　これは、１００で割り切れる。

　ａ＝５０のとき、ａ²−ａ＝２５００−５０＝２４５０　　これは、１００で割り切れない。

　ａ＝７５のとき、ａ²−ａ＝５６２５−７５＝５５５０　　これは、１００で割り切れない。

　以上から、求めるａの値は、２５　　（終）


（コメント）　後半部分は、合同式を用いると美しく解けるかも．．．。

　２５ｍ−１≡０　（ｍｏｄ　４）　すなわち、　ｍ≡１　（ｍｏｄ　４）

　ｍ＝１、２、３　のうち、ｍ≡１　（ｍｏｄ　４）　を満たすものは、ｍ＝１　のみ。

　よって、　ａ＝２５