当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２７年３月２１日付け）
a[1]〜a[k]を正の実数とするとき、Σk=1〜n {(1/a[k])＋a[k]}＋n/{Σk=1〜n a[k]} の最小値
を求めよ。
※ この問題は、2007年頃、ネット上で見かけたものです。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２７年３月２１日付け）
ちょっと雑ですが、0＜a＜b のとき、a=c-t、b=c+t とおくと、
{(1/a+a)+(1/b+b)}-{(1/c+c)+(1/c+c)}=2t2/{c(c+t)(c-t)}＞0
となるから、a[1]〜a[k]の中で異なるものがある場合は最小値にならない。従って、最小値が
存在すればa[1]〜a[k]がすべて等しい場合なので、a[1]=a[2]=a[3]=…=a[k]=aとして考えれば
よい。
このとき、 (与式)=n/a+na+1/a=(n+1)/a+na≧2√{n(n+1)}
よって、 最小値は、2√{n(n+1)}
（最小値をとるのは、a[1]〜a[k]=√(1+1/n)のとき）