当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからの出題です。
（平成２５年１１月２６日付け）
Ｆ(ｘ)＝ｘ6＋ｘ＋１ の最小値が 5/12 より大きいことを示せ。
（答） グラフ描画ソフトＧｒａｐｅｓを用いて、グラフを描いてみた。
グラフから、最小値は、「0.418」位と分かるのだが、
5/12＝0.41666・・・・
を考えると、相当に微妙ですね。
当ＨＰの常連さんからは、正攻法で解ける問題を、なぜ、あのらすかるさんが．．．という出
題の意図を問う声が大きいですね！
らすかるさんによれば、「正攻法だと、手計算で5/12より大きいことを確認するのが大変で
す。電卓など使わず、複雑な手計算も不要な、エレガントな解法を期待しています。」とのこと
です。
空舟さんが考察されました。（平成２５年１１月２６日付け）
ｙ=ｘ6+x+1 より、ｙ'=6ｘ5+1 なので、ｘ=(-1/6)^(1/5) で最小値をとるので、
その時のｙの値：5/6 * (-1/6)^(1/5) + 1＞ 5/12 を示せば良い。
5/6*(-1/6)^(1/5) ＞ -7/12 を示せば良い。
(-1/6)^(1/5) ＞ -7/10 を示せば良い。
(1/6)^(1/5) ＜ 7/10 を示せば良い。
1/6 ＜ (7/10)^5 を示せば良い。
10^5 ＜ 6*7^5 を示せば良い。
ここで、 6*7^5 = 42*2401 で、 42*24 = 960 + 48 ＞ 1000 から言える。
上記のように考えました。エレガントかどうかは分からないですが．．．。
（コメント） 空舟さんとほとんど同じですが、ちょっと解いてみました。
Ｇ(ｘ)＝ｘ6＋ｘ＋１−5/12＝ｘ6＋ｘ＋7/12 とおくと、
Ｇ’(ｘ)＝６ｘ5＋１＝０ はただ一つの解α（α＜０）を持ち、ｘ＝αで極小かつ最小。
最小値は、Ｇ(α)。 ６α5＋１＝０ のとき、Ｇ(α)＝α6＋α＋7/12＝(5/6)α＋7/12
そこで、 αと−7/10 の大小関係を調べる。その大小関係は、α5と（−7/10）5 の大小
関係と同値である。すなわち、６α5＋１（＝０） と ６・（−7/10）5＋１ の大小関係と同値。
６・（−7/10）5＋１＝−１．００８４２＋１＝−０．００８４２（＜０）
よって、 ６α5＋１（＝０）＞６・（−7/10）5＋１ すなわち、 α5＞（−7/10）5 から
α＞−7/10 が成り立ち、よって、 (5/6)α＋7/12＞０ であることが分かる。
以上から、 Ｆ(ｘ)＝ｘ6＋ｘ＋１ ＞ 5/12 が成り立つ。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１１月２６日付け）
用意していた解答は、
ｘ6＋ｘ＋１ = (x2＋１)(x2−1/2)2＋(3/4)(ｘ＋2/3)2＋5/12 ＞ 5/12
でした。（→ 参考１、参考２）
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年１１月２７日付け）
らすかるさんのアイデアを借りると（いつもハットするアイデアに感嘆）
一般に、ｎを正数にすると、
Ｆ(ｘ)=ｘ6+ｋｘ+ｃ=(ｘ2+ｎ)(ｘ2-ｎ/2)2+(3/4)(ｎｘ+2ｋ/(3ｎ))2+{ｃ-(ｎ3/4+ｋ2/(3ｎ2))}
と変形できるので、Ｆ(ｘ) の最小値は、 {ｃ-(ｎ3/4+ｋ2/(3ｎ2))}
ここで、Ｇ(ｎ)=ｎ3/4+ｋ2/(3ｎ2) と置くと、Ｇ(ｎ)の最小値は相加平均、相乗平均から
2√(ｎ3/4)・(ｋ2/(3ｎ2))=√(ｎ/3)・|ｋ|
なので、Ｆ(ｘ) の最小値は、ｃ-√(ｎ/3)・|ｋ| より大きいとしてはいけませんか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年１１月２７日付け）
Ｆ(ｘ)=ｘ6+ｋｘ+ｃ=(ｘ2+ｎ)(ｘ2-ｎ/2)2+(3/4)(ｎｘ+2ｋ/(3ｎ))2+{ｃ-(ｎ3/4+ｋ2/(3ｎ2))}
という式から言えるのは、{ｃ-(ｎ3/4+ｋ2/(3ｎ2))} より大きい」です。
なぜなら、一般に、「(ｘ2-ｎ/2)2」と「(ｎｘ+2ｋ/(3ｎ))2」は同時に0にならないからです。