当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年７月１４日付け）
点Ｐが長さ１の線分ＡＢを直径とする半円周上を動くとき、次の問いに答えよ。
(１) ∠BAP＝θとするとき、θのとり得る値の範囲を求めよ。
(２) ３ＡＰ＋４ＢＰ の最大値を求めよ。
（答） (１) ０≦θ＜π/２ (２) 最大値 ５ （ＡＰ＝３/５、ＢＰ＝４/５ のとき）
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年７月１５日付け）
よおすけさんの趣旨に反し、「Sqrt[2]*(4*Sqrt[1 - X] + 3*Sqrt[1 + X])」に帰着し、
「Wolfram|Alpha」に挿入すれば、最大値を明記：Global maximum は、10 と。
また、 「3*L + 4*Sqrt[4 - L^2] 」からも瞬時。
（コメント） Ｓ（Ｈ）さんが与えられた式は、円の半径を１とした場合に、余弦定理を用いて、
ＡＰ＝
√（１＋ｃｏｓ２θ） 、 ＢＰ＝√（１?ｃｏｓ２θ）から、ｃｏｓ２θ＝Ｘ とすれば得られる。問題では、「直径が１」なので、最大値は、
Ｓ（Ｈ）さんの結果の半分、即ち、 １０÷２＝５ となる。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年７月１８日付け）
S(H)さん、解答ありがとうございます。自分は(1)の方を答えます。
点Pが点A、Bともに一致しない場合は、三角形APBは作れるので∠BAP＝θも存在する。
点Pが点Bと一致する場合は、線分AB＝弦APとなるので三角形ABPは作れないが、∠BAP
は存在するので∠BAP＝0 すなわち、θ＝0(ラジアン)
点Pが点Aと一致する場合は、線分AB＝弦PBとなるので、∠BAPは存在しないので直角に
はならない。
よって、θのとり得る値の範囲は0≦θ<π/2 （厳密には書いていませんが、とりあえず解答。）