当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２６年１月２４日付け）
２次正方行列 A＝M{(a,b),(c,d)}、B＝M{(k,l),(m,n)}、C＝M{(p,q),(r,s)}について、
ABC＝M{(x,y),(z,w)}のとき、(xw-yz)-(ad-bc)(kn-lm)(ps-qr)の値を求めなさい。
（答） ０
りらひいさんが考察されました。（平成２６年１月２５日付け）
ふと目についたので、やってみました。
det A = ad-bc 、det B = kn-lm 、det C = ps-qr 、det ABC = xw-yz
である。また一般に、det ABC = det A * det B * det C が成り立つ。
よって、 (xw-yz)-(ad-bc)(kn-lm)(ps-qr)= det ABC - det A * det B * det C= 0
成分計算して欲しいと思ってるのかなーって思ったので、手計算でしてみました。
AB = M{(ak+bm,al+bn),(ck+dm,cl+dn)}
ABC = M{(akp+bmp+alr+bnr,akq+bmq+als+bns),(ckp+dmp+clr+dnr,ckq+dmq+cls+dns)}
なので、
x = akp+bmp+alr+bnr 、y = akq+bmq+als+bns 、z = ckp+dmp+clr+dnr 、w = ckq+dmq+cls+dns
これより、
xw-yz = (akp+bmp+alr+bnr)(ckq+dmq+cls+dns)-(akq+bmq+als+bns)(ckp+dmp+clr+dnr)
= ack^2pq+adkmpq+acklps+adknps+bckmpq+bdm^2pq+bclmps+bdmnps
+acklqr+adlmqr+acl^2rs+adlnrs+bcknqr+bdmnqr+bclnrs+bdn^2rs
-ack^2pq-adkmpq-acklqr-adknqr-bckmpq-bdm^2pq-bclmqr-bdmnqr
-acklps-adlmps-acl^2rs-adlnrs-bcknps-bdmnps-bclnrs-bdn^2rs
= adknps+bclmps+adlmqr+bcknqr
-adknqr-bclmqr-adlmps-bcknps
= adkn(ps-qr)+bclm(ps-qr)-adlm(ps-qr)-bckn(ps-qr)
= (adkn+bclm-adlm-bckn)(ps-qr)
= {ad(kn-lm)-bc(kn-lm)}(ps-qr)
= (ad-bc)(kn-lm)(ps-qr)
よって、 (xw-yz)-(ad-bc)(kn-lm)(ps-qr) = 0
もっと大変かと思ったけど、意外とあっさり。2×2でA,B,Cの3つくらいなら割と計算できる範
囲内なんですね。あっと驚くようなやり方も何かありそう？
（コメント） 私も、りらひいさんの前半のように考えて即答したのですが、問題自体が、
det AB = det A * det B の証明そのものなので、det AB = det A * det B を使っ
た証明は、邪道かもしれない．．．。
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年１月２５日付け）
りらひいさん、夜遅くに、ありがとうございます。成分計算は、自分は厄介と思ったのですが、
大したことなかったのですね・・・。detは思いつきませんでした。それなら、拡張して、
ｎが正の整数、a[n]、b[n]、c[n]、d[n]が実定数の２次正方行列A[n]＝M{(a[n],b[n]),(c[n]、d[n])}
において、A[1]A[2]A[3]・・・A[n]＝M{(x,w),(y,z)}のとき、
(xw-yz)-(a[1]d[1]-b[1]c[1])(a[2]d[2]-b[2]c[2])(a[3]d[3]-b[3]c[3])・・・(a[n]d[n]-b[n]c[n])=0
になると思います。
土筆の子さんからのコメントです。（平成２６年１月２５日付け）
りらひい様、よおすけ様、似たことをやっていましたので、ご紹介します。
AB=2A+3B を満たすとき、AB＝BA を示せ。
飯高茂著 線形代数 （朝倉書店） のｐ．50 にあった問題です。こんな成分の展開をまず
は、やってみたかったのでした。
A = {{a, b}, {c, d}}; B = {{x, y}, {z, w}} とすると、AB = {{a x + b z, b w + a y}, {c x + d z, d w + c y}}
一方、 2A + 3B = {{2 a + 3 x, 2 b + 3 y}, {2 c + 3 z, 2 d + 3 w}}
BA = {{a x + c y, b x + d y}, {c w + a z, d w + b z}}
したがって、以下が成り立つ。
a x + b z = 2 a + 3 x 、d w + c y = 2 d + 3 w 、b w + a y = 2 b + 3 y 、c x + d z = 2 c + 3 z
上の関係から{x, y, z}を消去して、w=(2 (b c + 3 d - a d))/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)
上の関係から{x, y, z}を消去して、z=(6 c)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)
上の関係から{x, y, z}を消去して、y=(6 b)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)
上の関係から{x, y, z}を消去して、x=(2 (-3 a - b c + a d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d)
このとき、B={{2(-3 a - b c + a d)/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d), 6b/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)},
{6c/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d), 2(b c + 3 d - a d)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)}}
なので、
AB＝{{2(-3a2-3bc-abc+a2d)/(9-3a-bc-3d+ad), 2b(-3a-bc-3d+ad)/(9-3a-bc-3d+ad)},
{2c(3a+bc+3d-ad))/(-9+3a+bc+3d-ad), 2(-3bc-bcd-3d2+ad2))/(9-3a-bc-3d+ad)}}
BA＝{{2(-3a2-3bc-abc+a2d)/(9-3a-bc-3d+ad), 2b(3a+bc+3d-ad)/(-9+3a+bc+3d-ad)},
{2c(-3a-bc-3d+ad)/(9-3a-bc-3d+ad), 2(-3bc-bcd-3d2+ad2)/(9-3a-bc-3d+ad)}}
より、AB = BA が成り立つ。
これは、計算ソフトを使っています。手計算ではなかなか、やる気はしないと思います。普
通は、以下の通りにならうと思います。以下は、S(H)さんによります。
（証明） AB=2A+3B ならば、(A-3E)(B-2E)=AB-2A-3B+6E=O+6E=6E
A-3E∈GL(n,K)、B-2E∈GL(n,K) なので、6E=(B-2E)(A-3E)=BA-2A-3B+6E
よって、 BA-2A-3B=O より、 BA=2A+3B=AB から、Ａ、Ｂは可換 （終）
（参考 → 川島正行さんのＨＰ）
成分に分けると何をしているのか見失いますが、行列になってまとまって取り扱うと全体像
が見える気がします。両方眺めると、よく納得できます。