奇数個の3次の魔方陣の積                  戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんからの出題です。
                                     (平成24年12月10日付け)

 問題A 3次の正方行列 M= 2 9 4 とするとき、M2、M3、M4、M5 を求めよ。
                  7 5 3
                  6 1 8

問題B 3次の正方行列 A= 2 9 4
  7 5 3
  6 1 8
  B= 15  1 11
    5  9 13
    7 17  3
  C=  71 89  17
     5 59 113
   101 29  47

   とするとき、ABC, ACB, BAC, …, CBAを求めよ。





























(答) 問題A

M2=91 67 67
   67 91 67
   67 67 91
  M3=1053 1221 1101
   1173 1125 1077
   1149 1029 1197
  M4=17259 16683 16683
   16683 17259 16683
   16683 16683 17259
  M5=251397 255429 252549
   254277 253125 251973
   253701 250821 254853

 問題B

ABC=
23319 22455 25911
26487 23895 21303
21879 25335 24471
  ACB=
21663 29079 20943
23175 23895 24615
26847 18711 26127
  BAC=
23319 22455 25911
26487 23895 21303
21879 25335 24471
  BCA=
21663 29079 20943
23175 23895 24615
26847 18711 26127
CAB=
23319 22455 25911
26487 23895 21303
21879 25335 24471
CBA=
23319 22455 25911
26487 23895 21303
21879 25335 24471

 攻略法さんからの続報です。(平成24年12月10日付け)

(考察) 3次の魔方陣は、M= a+b  a-b-c  a+c    (魔法数=3a) と表される。
                   a-b+c  a     a+b-c
                   a-c   a+b+c  a-b

 ちなみに、a=5, b=-3, c=-1とすれば、1から9までの数字を使ったものになる。

 3次の正方行列として積を計算すると、

M2=3a2+2b2-2c2  3a2-b2+c2    3a2-b2+c2
   3a2-b2+c2    3a2+2b2-2c2  3a2-b2+c2
   3a2-b2+c2    3a2-b2+c2    3a2+2b2-2c2

M3=(9a3)+(3b3-3bc2)           (9a3)-(3b3-3bc2)-(3b2c-3c3)   (9a3) +(3b2c-3c3)
   (9a3)-(3b3-3bc2)+(3b2c-3c3)    (9a3)                  (9a3)+(3b3-3bc2)-(3b2c-3c3)
   (9a3) -(3b2c-3c3)            (9a3)+(3b3-3bc2)+(3b2c-3c3)   (9a3)-(3b3-3bc2)


となる。計算結果を考察すると、M2は、左斜めの和が他と一致しない。

 M3は、魔法数=3(9a3)の魔方陣となる。数字の配置は、Mと同じ構造である。

また、奇数べきは魔方陣となる。  (終り)


問題  3次の正方行列 M= 2 9 4 とするとき、M-1を求めよ。
                    7 5 3
                    6 1 8


答え  M-1= -37/360   17/90   -7/360
          19/180    1/45  -11/180
          23/360  -13/90   53/360   (終り)


 攻略法さんからの続報です。(平成24年12月13日付け)

 3次の魔方陣は、M= a+b  a-b-c  a+c    魔法数=3a  と表される。
               a-b+c  a   a+b-c
               a-c  a+b+c  a-b

 3次の正方行列として計算すると、

det(M)=(a+b)a(a-b)+(a-b-c)(a+b-c)(a-c)+(a+c)(a-b+c)(a+b+c)-(a+c)a(a-c)
     -(a+b)(a+b-c)(a+b+c)-(a-b-c)(a-b+c)(a-b)
    =9a(-b2+c2)

逆行列 M-1・det(M)
= a(a-b)-(a+b+c)(a+b-c)   (a+b+c)(a+c)-(a-b-c)(a-b)   (a-b-c)(a+b-c)-a(a+c)
 (a+b-c)(a-c)-(a-b)(a-b+c)  (a-b)(a+b)-(a+c)(a-c)    (a+c)(a-b+c)-(a+b-c)(a+b)
 (a-b+c)(a+b+c)-(a-c)a   (a-c)(a-b-c)-(a+b)(a+b+c)   (a+b)a-(a-b+c)(a-b-c)

= (-b2+c2)+(-3ab)      (-b2+c2)-(-3ab)-(-3ac)  (-b2+c2) +(-3ac)
 (-b2+c2)-(-3ab)+(-3ac)      (-b2+c2)       (-b2+c2)+(-3ab)-(-3ac)
 (-b2+c2) -(-3ac)      (-b2+c2)+(-3ab)+(-3ac)  (-b2+c2)-(-3ab)

魔法数=1/(3a)の魔方陣となる。数字の配置は、Mと同じ構造である。 (終り)