奇数個の３次の魔方陣の積　　 　 　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１２月１０日付け）

　問題Ａ　３次の正方行列　M= 2 9 4 とするとき、M²、M³、M⁴、M⁵ を求めよ。
　　 　　　　　　　　　　　　　　 7 5 3
　　 　　　　　　　　　　　　　　 6 1 8

　　　とするとき、ABC, ACB, BAC, …, CBAを求めよ。

（答）　問題Ａ

　問題Ｂ

　攻略法さんからの続報です。（平成２４年１２月１０日付け）

（考察）　3次の魔方陣は、M=　a+b 　a-b-c 　a+c　　　　（魔法数=3a）　と表される。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a-b+c 　a 　 　 a+b-c
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a-c 　 a+b+c 　a-b

　ちなみに、a=5, b=-3, c=-1とすれば、1から9までの数字を使ったものになる。

　3次の正方行列として積を計算すると、

M²=3a²+2b²-2c² 　3a²-b²+c² 　　 3a²-b²+c²
　　 3a²-b²+c² 　　 3a²+2b²-2c² 　3a²-b²+c²
　　 3a²-b²+c² 　　 3a²-b²+c² 　　 3a²+2b²-2c²

M³=(9a³)+(3b³-3bc²) 　　　　　　　　　　(9a³)-(3b³-3bc²)-(3b²c-3c³) 　 (9a³) +(3b²c-3c³)
　　　(9a³)-(3b³-3bc²)+(3b²c-3c³) 　 　(9a³) 　　　　　　　　　　　　　　　　 (9a³)+(3b³-3bc²)-(3b²c-3c³)
　　　(9a³) -(3b²c-3c³) 　　　　　 　 　　 (9a³)+(3b³-3bc²)+(3b²c-3c³) 　　(9a³)-(3b³-3bc²)

となる。計算結果を考察すると、M²は、左斜めの和が他と一致しない。

　M³は、魔法数=3(9a³)の魔方陣となる。数字の配置は、Mと同じ構造である。

また、奇数べきは魔方陣となる。　　（終り）


問題　　3次の正方行列　M= 2 9 4　とするとき、M^-1を求めよ。
　　　　　　　　　　　　 　　 　 　 7 5 3
　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 6 1 8


答え　　M^-1=　-37/360 　　17/90 　　-7/360
　　　　　　　　　　19/180 　　　1/45 　-11/180
　　　　　　　　　　23/360 　-13/90 　　53/360　　　（終り）


　攻略法さんからの続報です。（平成２４年１２月１３日付け）

　3次の魔方陣は、M=　a+b　　a-b-c　　a+c　　　　魔法数=3a　　と表される。
　　　　　　　　　　　　　　 a-b+c　　a　　　a+b-c
　　　　　　　　　　　　　　 a-c　　a+b+c　　a-b

　３次の正方行列として計算すると、

det(M)=(a+b)a(a-b)+(a-b-c)(a+b-c)(a-c)+(a+c)(a-b+c)(a+b+c)-(a+c)a(a-c)
　　　　　-(a+b)(a+b-c)(a+b+c)-(a-b-c)(a-b+c)(a-b)
　　　　=9a(-b²+c²)

逆行列 M^-1・det(M)
= a(a-b)-(a+b+c)(a+b-c)　　　(a+b+c)(a+c)-(a-b-c)(a-b)　　　(a-b-c)(a+b-c)-a(a+c)
　(a+b-c)(a-c)-(a-b)(a-b+c)　　(a-b)(a+b)-(a+c)(a-c)　　　　(a+c)(a-b+c)-(a+b-c)(a+b)
　(a-b+c)(a+b+c)-(a-c)a　　　(a-c)(a-b-c)-(a+b)(a+b+c)　　　(a+b)a-(a-b+c)(a-b-c)

= (-b²+c²)+(-3ab)　　　　　　(-b²+c²)-(-3ab)-(-3ac)　　(-b²+c²) +(-3ac)
　(-b²+c²)-(-3ab)+(-3ac)　　　　　　(-b²+c²)　　　　　　　(-b²+c²)+(-3ab)-(-3ac)
　(-b²+c²) -(-3ac)　　　　　　(-b²+c²)+(-3ab)+(-3ac)　　(-b²+c²)-(-3ab)

魔法数=1/(3a)の魔方陣となる。数字の配置は、Mと同じ構造である。　（終り）