２次正方行列の乗法では、交換法則は成り立ちません。すなわち、２次正方行列Ａ、Ｂにつ
いてＡＢ＝ＢＡはつねに成り立つとは限りません。さて、２次正方行列Ａ、Ｂの新しい積を
Ａ*Ｂ＝(ＡＢ＋ＢＡ)/２
と定義します。このとき、次の関係式で、成立するものは証明し、成立しないものには反例を
あげなさい。ただしＡ、Ｂ、Ｃはいずれも２次正方行列とします。
(１) 交換法則 Ａ*Ｂ＝Ｂ*Ａ
(２) 交代法則 (Ａ*Ｂ)*Ａ＝Ａ*(Ｂ*Ａ)
(３) 結合法則 (Ａ*Ｂ)*Ｃ＝Ａ*(Ｂ*Ｃ)
（出典：第228回実用数学技能検定準一級2次問題4）
（答） （１） 成立
（証明） Ａ*Ｂ＝(ＡＢ＋ＢＡ)/２＝(ＢＡ＋ＡＢ)/２＝Ｂ*Ａ （証終）
（２） 成立
（証明） (Ａ*Ｂ)*Ａ＝｛(ＡＢ＋ＢＡ)Ａ/２＋Ａ(ＡＢ＋ＢＡ)/２｝/２＝（ＡＢＡ＋ＢＡＡ＋ＡＡＢ＋ＡＢＡ）/４
Ａ*(Ｂ*Ａ)＝｛Ａ(ＢＡ＋ＡＢ)/２＋(ＢＡ＋ＡＢ)Ａ/２｝/２＝（ＡＢＡ＋ＡＡＢ＋ＢＡＡ＋ＡＢＡ）/４
から、 (Ａ*Ｂ)*Ａ＝Ａ*(Ｂ*Ａ) （証終）
（３） 不成立
（反例）
、
、
とおくと、
、 
から、 (Ａ*Ｂ)*Ｃ≠Ａ*(Ｂ*Ｃ) である。 （終）
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