２次正方行列
について、（Ａ−Ｅ）2＝０ となるように、ａ の値を定め、Ａｎ を計算せよ。
（答） （Ａ−Ｅ）2＝０ において、
より、 ａ＝３ であることが分かる。
このとき、 Ａ2＝２Ａ−Ｅ であることから、 Ａ3＝２Ａ2−Ａ＝３Ａ−２Ｅ
Ａ4＝３Ａ2−２Ａ＝４Ａ−３Ｅ 、 ・・・・
一般に、 Ａｎ＝ｎＡ−（ｎ−１）Ｅ が成り立つ。（厳密には、数学的帰納法による）
よって、
が成り立つ。
（別解） ハミルトン・ケーリーの定理から、 Ａ2−（ａ−１）Ａ＋（４−ａ）Ｅ＝０
（Ａ−Ｅ）2＝０ より、 Ａ2−２Ａ＋Ｅ＝０
辺々引いて、 （ａ−３）Ａ＝−（ａ−３）Ｅ
ここで、 ａ≠３ とすると、 Ａ＝−Ｅ となり、矛盾。 よって、ａ＝３ である。
以下、上記と同様。 （終）
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