当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年７月６日付け）
次の等式が成り立つことを証明せよ。ただし、abc≠0とする。
|1+a 1 1|
|1 1+b 1|=abc(1+1/a+1/b+1/c)
|1 1 1+c|
（答） 行列式の基本変形により、
左辺＝ａ｛ｂ（１＋ｃ）＋ｃ｝＋ｂｃ＝ａｂｃ＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ａｂｃ（１＋１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ）＝右辺
なので成立する。
よおすけさんから解答をいただきました。（令和３年７月７日付け）
以下、略解です。まず、
|1+a 1 1| |1 1 1 1 |
|1 1+b 1|=|0 1+a 1 1 |
|1 1 1+c| |0 1 1+b 1 |
|0 1 1 1+c|
と変形する。 第2行-第1行、第3行-第1行、第4行-第1行 をそれぞれ行うと、
| 1 1 1 1|
|-1 a 0 0|
|-1 0 b 0|
|-1 0 0 c|
これを更に変形すると、以下の式になる。
| 1+1/a+1/b+1/c 0 0 0|
| -1 a 0 0|
| -1 0 b 0|
| -1 0 0 c|
これより、(1+1/a+1/b+1/c)abc を得られるから、等式
|1+a 1 1|
|1 1+b 1|=abc(1+1/a+1/b+1/c)
|1 1 1+c|
が成り立つ。
（コメント） 最初の３×３から４×４の行列式に式変形するところに、技を感じました！