平方数の行列式 　　 　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１１月２１日付け）

　 平方数に対する普遍性を行列式に当てはめて、a、b、c、d、e、f、g、h、i≠0、±1で

のいずれの行列式も１を満たすものが存在するだろうか？
































（答）　当ＨＰ読者のＨＮ「数々の和」さんから解答をお寄せいただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１２月３日付け）

　整数解を見つけました！

　3　　4　　 5
　2　　3　　 3
-864 -1304 -1287

各成分の平方

　9 　　　16　 　25
　4　　　　9　　　9
746496 1700416 1656369


　ＨＮ「数々の和」さんからの続報です。（平成２４年１２月１５日付け）

　すべての成分が自然数である解を見つけました！

　383　　582　　566
　　2　　　3　　　　3
　　3　　　4　　　　5

　もう少し小さな数値で自然数解がないかを追いかけていますが、うまくつかまりません。

　また、平方数の行列式において、a、b、c、d、e、f、g、h、i≠0、±1で

のいずれの行列式も１を満たすものが存在するだろうか？という問いかけに対して、第2行
及び第3行の6個の成分を既知としたとき、第1行の成分を計算する公式が見つかりました。

　ａ，ｂ，ｃ を ｘ，ｙ，ｚ とし未知数であることをはっきりさせておこう。ｄ〜iは既知数である。

　p=ei-fh　、q=fg-di　、r=dh-eg、p’=ei+fh　、q’=fg+di　、r’=dh+eg とおくと、問題は

　px+qy+rz=1　・・・　（１）　pp’x²+qq’y²+rr’z²=1　・・・　（２）

という不定方程式を解く問題になる。pqr≠0とする。（２）をｒ倍して（１）を代入すれば

　　pp’rx²+qq’ry²+r’(1-px-qy)²=r

　展開して整理すると、

　　(pp’r+p²r’)x²+2pqr’xy+(qq’r+q²r’)y²-2r’(px+qy)=r-r’　・・・　（３）

　ここで、　pp’r+p²r’=p(p’r+pr’)=p[(ei+fh)(dh-eg)+(ei-fh)(dh+eg)]=p(2dehi-2efgh)= -2ehpq

　同様にして　qq’r+q²r’=-2dgpq　、r-r’=-2eg　なので、（３）は、

　　　-2ehpqx²+2pqr’xy-2dgpqy²-2r’(px+qy)=-2eg

　両辺に -pq/2 を掛け、 X=pqx　、Y=pqy と置くと、 ehX²-(dh+eg)XY+dgY²+r’(pX+qY)=egpq

　すなわち、　(eX-dY)(hX-gY) +r’(pX+qY)=egpq　となる。

　さらに、　pX=p[-g(eX-dY)+d(hX-gY)]/(-eg+dh)= p[-g(eX-dY)+d(hX-gY)]/r

　同様にして、　qY=q[-h(eX-dY)+e(hX-gY)]/r　だから、

　　pX+qY=[-(gp+hq)(eX-dY)+(dp+eq)(hX-gY)]/r

　ここで、-(gp+hq)=-egi+fgh-fgh+dhi=i(dh-eg)=ir　・・・　（４）

　　　　　　dp+eq=dei-dfh+efg-dei=-f(dh-eg)=-fr　・・・　（５）

　よって、　pX+qY=i(eX-dY)-f(hX-gY)　となり、（３）は、

　　(eX-dY)(hX-gY) +r’[ i(eX-dY)-f(hX-gY)]=egpq

　両辺から fir’² を引くと、左辺は因数分解できて、　(eX-dY-fr’)(hX-gY+ir’)=egpq-fir’²

　このとき、右辺=egpq-fir’²=eg(ei-fh)(fg-di)-fi(dh+eg)²

　　　　　　　　　 =e²fg²i-de²gi²-ef²g²h+defghi-d²fh²i-2defghi-e²fg²i

　　　　　　　　　 =-dh･di･fh-ei･eg･di-fg･eg･fh-dh･ei･fg

　　　　　　　　　 =-(r+r’)/2・(q’-q)/2・(p’-p)-(p+p’)/2・(r’-r)/2・(q’-q)/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　-(q+q’)/2・(r’-r)/2・(p’-p)/2-(p+p’)/2・(q+q’)/2・(r+r’)/2

　　　　　　　　　 =(-1/8)[(r’-r)(pq’-pq+p’q’-p’q+p’q-pq+p’q’-pq’)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(r’+r)(p’q’-p’q-pq’+pq+pq+pq’+p’q+p’q’)]

　　　　　　　　　 =(-1/8)[2(r’-r)(p’q’-pq)+2(r’+r)(p’q’+pq)

　　　　　　　　　 =(-1/4)(r’p’q’-r’pq-rp’q’+rpq+r’p’q’+r’pq+rp’q’+rpq)

　　　　　　　　　 =(-1/2)(pqr+p’q’r’)

　したがって、（３）は、　(eX-dY-fr’)(hX-gY+ir’)= (-1/2)(pqr+p’q’r’)

　ここで、(1/2)(pqr+p’q’r’)　を2個の数 −vとuの積に分け、連立方程式

　　　eX-dY-fr’=-v　、hX-gY+ir’=u

　を解くと、　X=(du+gv-q’r’)/r　、Y=(eu+hv-r’p’)/r

　したがって、　x=(du+gv-q’r’)/(pqr)　、y=(eu+hv-r’p’)/(pqr)

　rz=1-［（dｐu+gｐv）-ｐq’r’]/(pqr)-［(equ+hqv)-qr’p’]/(pqr)

　　=[-(dp+eq)u-(gp+hq)v+pqr+(pq’+p’q)r’]/(pqr)

　ここで、（４）（５）より、　dp+eq=-fr　、gp+hq=-ir　で、さらに、

　pq’+p’q=(ei-fh)(fg+di)+(ei+fh)(fg-di)=2efgi-2dfhi=2fi(eg-dh)=-2fir

　したがって、　rz=(fru+irv+pqr-2firr’)/(pqr)

　よって、　z=(fu+iv)+pq-2fir’]/(pqr)

　ここで、　pq-2fir’=pq-2fi(dh+eg)=pq-2(fh・di+ei・fg)

　　　　　　　　　　　 =pq-2[(p’-p)/2・(q’-q)/2+(p’+p)/2・(q’+q)/2]

　　　　　　　　　　　 =pq-(1/2)(2p’q’+2pq)=-p’q’

　したがって、　z=(fu+iv)-p’q’)/(pqr)

　（結論）　6数 d,e,f,g,h,i が与えられ、p=ei-fh≠0　、q=fg-di≠0　、r=dh-eg≠0 とする。

　　　p’=ei+fh　、q’=fg+di　、r’=dh+eg　、uv=(pqr+p’q’r’)/2 を満たす任意のuとvに対して

　　　　a=（du+gv-q’r’）/(pqr)　、b=(eu+hv-r’p’)/(pqr)　、c=(fu+iv-p’q’)/(pqr)

　　とすれば題意を満たす。（なお、p,q,r の中の何れかが0である場合には言及しなかった。）


（コメント）　技巧的な計算で圧巻ですね！

　383　　582　　566
　　2　　　3　　　　3
　　3　　　4　　　　5

の場合について、d=2,e=3,f=3,g=3,h=4,i=5　なので、p=3,q=-1,r=-1

　このとき、p’=27,q’=19,r’=17　で、uv=(3+8721)/2=4362 を満たす u,v として、

　u=727　,v=6　とすると、

a=（1454+18-323）/3=383　、b=(2181+24-459)/3=582　、c=(2181+30-513)/3=566

となり、数々の和さんの答えと一致する。
（偶然選んだ ｕ、ｖ に対して、数々の和さんの答えと一致して驚きました！）

　このような機会を与えてくださった数々の和さんに感謝します。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１２月３１日付け）

　「数々の和」さんからの報告を見て、圧巻な式変形と数多くの変数を巧に操作して解答に
導かれる力に感動しました。私には導き方はわかりませんが、次のようなものが存在すると
のことです。

　さらに、フィボナッチ数を多数含む例として、

（コメント）　数字が簡潔で綺麗ですね！