当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２８年４月１３日付け）
左右５個の穴が空いているランニングシューズに靴紐を通すことを考える。一番上の穴か
らひもを通して左右交互に任意の穴に一度だけ紐を通過させて、一番上で最後両端の紐を
結ぶことにする。
さて、紐が途中交差する部分にはリボンを結ぶことにする。（最後の結び目は除外する。）
最も多くのリボンが結べる結び方では、いくつのリボンが付けられるか？ただし、左右の穴
は非対称となっていて、３つの紐は一点では交差していないものとする。
また、左右１０個の穴が空いているバスケットシューズでは同じように最多いくつになるか？
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２８年４月１４日付け）
上
0 9
2 7
4 5
6 3
8 1
この数字順に通せば、直前の紐以外とすべて交差するので、
0+0+1+2+3+4+5+6+7=28（個）
左右10個の場合も同様に、
0+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=153（個）
（コメント） ２本の直線は必ず交わり、どの３本の直線も１点では交わらないときのｎ本の直
線の交点数の計算と同じですね！
一般の位置にあるｎ本の直線の交点数をａｎとおくと、ａ1＝０、ａ2＝１、ａ3＝３、・・・ で、
一般に、漸化式 ａ1＝０ 、ａｎ+1＝ａｎ＋ｎ が成り立つ。
この漸化式を解くと、 ａｎ＝ｎ（ｎ−１）/２ となる。
問題文では、直線の本数は、９本なので、求める交点数は、 ９・８/２＝３６
このうち穴の部分での交点数８個を差し引いて、リボンの数は、 ３６−８＝２８（本）となる。
穴が１０個の場合も同様で、リボンの数は、 １９・１８/２−１８＝１５３（本） となる。