当ＨＰ読者のＨＮ「Ｖ」さんからの出題です。（平成２４年１２月２２日付け）
命題 実数関数f(ｘ)が、任意の実数a、b、c、dについて、
d-c＞b-a ならば、 f(d)-f(c)＞f(b)-f(a)
を満たすならば、f(ｘ)は、傾きが正の一次関数である。
は成り立つだろうか？
（答） Ｖさんによれば、直観的には正しそうですが、書籍等で見かけませんでした。
Ｗｅｂサイト「DS 数学 BBS・2」で証明いただきましたので紹介します。
（コメント） 上記サイトのＨＮ「sambarclaude」さんの証明を追認しようとしましたができません
でした。少し検討したいと思います。
上記話題について、Ｖさんからの続報です。（平成２５年２月３日付け）
以前投稿した下記命題の証明を少し改善して再UPします。誤り、反例などあればご指摘
ください。
なお類例ですが、f(x+y)≡f(x)+f(y)を満たす実関数は必ずしも線形でないようですね。
命題 ｆ は、実数全体で定義された実数関数とする。ｆ が下記の条件を満たすならば、
f は一次関数である。
条件： 任意の実数a、b、c、d について、
「 a-b＞c-d ならば f(a)-f(b)＞f(c)-f(d) である」
(証明概略) f(0)=0 の場合を考えればよい。
(一般の場合は、関数 f(x)-f(0) について考えることで f(0)=0 の場合に帰着できる)
このとき、1-0 ＞0-0 なので、条件より、f(1)-f(0)＞f(0)-f(0)
よって、 f(1)＞0
f(1)＝k とおく。（k＞0である）
任意の実数 ｘ について、 f(ｘ)=ｋｘ となることを示せばよい。
(背理法による）
ある実数 ｘ＞０ について、 f(ｘ)＞ｋｘ であると仮定する。
k＞0 より、k で割ると、 f(ｘ)/ｋ＞ｘ
有理数の稠密性により、 f(ｘ)/ｋ＞m/n＞ｘ となる有理数 m/n(＞０) がとれる。
（ただし、m、n は正整数）
このとき、 1/n＞ｘ/m … （イ） 、f(ｘ)/m＞k/n … （ロ） である。
ｋ=f(1)-f(0)=[f(1)-f(1-(1/n))]+[f(1-(1/n))-f(1-(2/n))]+…+[f(1/n)-f(0)]
(右辺は n 個の項の和)
上記のn 個の項 [f(1-(i/n))-f(1-(i+1)/n))] のうち少なくとも１つは、≦ k/n を満たす。
すなわち、 ある実数 a、b が存在して、
a-b=1/n … （ハ） 、f(a)-f(b) ≦ k/n … （ニ） を満たす。
f(ｘ)=f(ｘ)-f(0)=[f(ｘ)-f(ｘ-(ｘ/m))]+[f(ｘ-(ｘ/m))-f(ｘ-(2ｘ/m))]+…+[f(ｘ/m)-f(0)]
(右辺は m 個の項の和)
同様に、ある実数 c、d が存在して、
c-d=ｘ/m … （ホ） 、f(c)-f(d) ≧ f(ｘ)/m … （ヘ） を満たす。
このとき、（イ）（ハ）（ホ） より a-b＞c-d 、一方、（ロ）（ニ）（ヘ）より f(a)-f(b)＜f(c)-f(d).
これは（条件）に反する。
ゆえに、f(ｘ)＞ｋｘ となるような実数 ｘ＞０ は存在しない。ｘ＜０の場合も同様。
殆ど同様に、 f(ｘ)＜ｋｘ となるような ｘ も存在しないことが示される。
よって、任意の実数ｘについて、 f(ｘ)=ｋｘ である。
（コメント） 「任意の実数 ｘ に対して、ある実数 ｋ が存在して、f(ｘ)＝ｋｘ」の否定は、
「ある実数 ｘ が存在して、任意の実数 ｋ に対して、f(ｘ)≠ｋｘ」
だと思うのですが、上記の背理法は正しいのでしょうか？よく分かりません。
Ｖさんからのコメントです。（平成２７年１２月１２日付け）
最後のコメントは、誤解があると思いますがいかがでしょうか？うまく表現できないのです
が、k=f(１)と決まりますから、
「任意の実数 ｘ に対して、ある実数 ｋ が存在して、f(ｘ)＝ｋｘ」の否定は、
「ある実数 ｘ が存在して、任意の実数 ｋ に対して、f(ｘ)≠ｋｘ」
だと思う・・・という考察は、関係ないと思います。
（コメント） 関数決定の問題で、始めに「f(ｘ)=ｋｘ 」ありきなところがちょっと理解できません。
一次関数では確かに条件を満たすのでしょうが、他にその条件を満たす関数が
ないという保証がないように思うのです。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月１２日付け）
管理人さんの指摘は少しだけ間違っているものの、指摘すること自体は適切と思います。
少しだけ間違っているというのは、元の命題は
「任意の実数 ｘ に対して、ある実数 ｋ が存在して、f(ｘ)＝ｋｘ」
ではなくて、
「ある実数 ｋ が存在して、任意の実数 ｘ に対して、f(ｘ)＝ｋｘ」
なので、その否定は、
「任意の実数 ｋ に対して、ある実数 ｘ が存在して、f(ｘ)≠ｋｘ」
である点。そして、Vさんの仮定した内容は、
「ある実数 ｋ に対して、ある実数 ｘ が存在して、f(ｘ)≠ｋｘ」
なので、管理人さんは変に思ったのでしょう。
実際のところは、k=f(1) の場合以外は自明なんですが、だからと言って仮定そのものを書
き換えてしまっては証明として成立していません。
ついでに言うと、f(x)≠kx を f(x)>kx と f(x)<kx に場合分けする宣言を省いているのが更な
る混乱を招いていると思います。
というか、これって背理法など使わずもっと直截的に示せませんかね。
与えられた条件において、b=d とすると、「a>c ならば f(a)>f(c) 」となるので、f(x) は狭義単
調増加関数である。以下では、a を任意の実定数とする。
t を任意の正の実数として、
f(a+t)-f(a)
= {f(a+t)-f(a+t/2)} + {f(a+t/2)-f(a+t/4)} + {f(a+t/4)-f(a)}
< {f(a+t)-f(a+t/2)} + {f(a+t)-f(a+t/2)} + {f(a+t)-f(a+t/2)}
より、 f(a+t)-f(a+t/2) > (1/3) {f(a+t)-f(a)}
つまり、 f(a+t/2)-f(a) < (2/3) {f(a+t)-f(a)}
これを繰り返し用いると、n を自然数として、f(a+1/2^n)-f(a) < (2/3)^n {f(a+1)-f(a)} となる。
すなわち、正実数 ε が与えられたとき、(2/3)^n {f(a+1)-f(a)} < ε となるように自然数 n を
定め、それを用いて δ = 1/2^n ととれば、f(x) が狭義単調増加であることから、
任意の実数 x に対し、0<x<δ ならば 0 < f(x)-f(a) < ε となる。
すなわち、f(x) は x=a において右連続。
同様にして x=a において左連続であることも示されるので、f(x) は x=a で連続である。
θを1より小さい任意の正実数とする。hを正実数とすると、
f(a+(1-θ)h)-f(a) < f(a)-f(a-h) < f(a+(1+θ)h)-f(a)
が成り立つ。この全体を h で割ってから h->+0 とすると、
(1-θ) f[右微分](a) < f[左微分](a) < (1+θ) f[右微分](a)
となる。これが1より小さい任意の正実数θについて成り立つので、θ->+0 とすると、挟み
撃ちの原理より、
f[左微分](a) = f[右微分](a)
つまり、f(x) は x=a で微分可能である。
以上の議論は任意の実定数 a について成り立つので、f(x) は x=0 でも微分可能である。
θを1より小さい任意の正実数とする。hを正実数とすると、
f((1-θ)h)-f(0) < f(a+h)-f(a) < f((1+θ)h)-f(0)
が成り立つ。この全体を h で割ってから h->+0 とすると、 (1-θ)f'(0) < f'(a) < (1+θ)f'(0)
となる。
これが1より小さい任意の正実数θについて成り立つので、θ->+0 とすると、挟み撃ちの
原理より、f'(a) = f'(0)
これが任意の実定数 a について成り立つのだから、f'(x) は定数である。
これを1回積分すれば、f(x) は一次関数である。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月１２日付け）
投稿直後に気づきました。
θを1より小さい任意の正実数とする。hを正実数とすると、
f(a+(1-θ)h)-f(a) < f(a)-f(a-h) < f(a+(1+θ)h)-f(a)
が成り立つ。この全体を h で割ってから h->+0 とすると、
(1-θ) f[右微分](a) < f[左微分](a) < (1+θ) f[右微分](a)
となる。
ここ嘘ですね。連続だからといって片側微分可能とは限らない……。発散しないことの証
明がこの前に必要ですね。うまくできるでしょうか。
Ｖさんからのコメントです。（平成２７年１２月１３日付け）
ｆの連続性が示せると、元の命題も示しやすいですね。
「ある実数 ｋ に対して、ある実数 ｘ が存在して、f(ｘ)≠ｋｘ」なので、管理人さんは変に思っ
たのでしょう。
k=f(1) なので、kは「ある実数」といえばそうですが、上記の仮定をしているわけではないと
思います。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月１３日付け）
だから、そこで k=f(1) と勝手にしてしまうのが証明として破綻しているのですよ。
Ｖさんからのコメントです。（平成２７年１２月１３日付け）
f(1)のままでも良いのですが、記述を簡単にするためkと書いただけです。書き換えなけれ
ば、下記のようになります。
任意の実数 ｘ について、 f(ｘ)=f(1)ｘ となることを示せばよい。
(背理法による） ある実数 ｘ＞０ について、 f(ｘ)＞f(1)ｘ であると仮定する。
f(1)＞0 より、f(1) で割ると、 f(ｘ)/f(1)＞ｘ
というふうにkは出てきません。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年１２月１３日付け）
だから、そこで k=f(1) と勝手にしてしまうのが証明として破綻しているのですよ。
勘違いしてました。背理法だから、この条件は仮定側に来てるので、「任意の」で特定のk
に選んでも問題なかったですね。失礼しました。
しかし、証明の入り口の手順の拭いきれない違和感は消えないんですよね。単に言い回し
が私に馴染まないだけなのかなあ。
Ｖさんからのコメントです。（平成２７年１２月１３日付け）
確かに、「背理法」というよりも「対偶が真であることを示す」といった方が良いような気もし
ますし、「ある実数xについてf(x)≠f(1)x」ならば
「ある実数xについて、f(x)＞f(1)xまたはf(x)＜f(1)x」
と言ってから、f(x)＞f(1)x のとき・・・とした方が、見通しが良いですね。
また、fが連続であることをDD++さんへの方式で証明し、それを使うほうが、素直で分りや
すい気がします。
ＩＴ さんから冒頭の話題について、証明が「数学セミナー’１７ １１月号（日本評論社）」に掲
載されている旨ご教示いただいたので、紹介したいと思います。（平成２９年１２月１日付け）
松江市の今田敏朗さんによる証明です。ＩＴ さんにより一部表現等を変えてあります。
命題 実数全体Ｒ上で定義された実数値関数f(ｘ)が、任意の実数a、b、c、dについて、
a-b＞c-d ならば、 f(a)-f(b)＞f(c)-f(d) ・・・(A)
を満たすならば、f(ｘ)は、一次関数である。
（証明） 条件(A)はf(x)に定数を加えても成り立つので、f(0)=0 と仮定しても一般性を失わな
い。
条件(A)において、b=d とおけば、f(x)は狭義単調増加であることが分かる。特に、f(1)＞0。
・ f(x) が連続関数であることを示す。
任意のε＞0に対して、ε≧f(1)/n なる自然数ｎが取れる。
f(1)=∑k=1～n （f(k/n)-f((k-1)/n)） …(1) において、f(x)の狭義単調増加性から右辺の和
の各項はすべて正なので、少なくとも１つはf(1)/n 以下である。
(A)から、0＜δ＜1/n なる任意の実数δと任意の実数xについて、
0＜f(x+δ)-f(x)＜f(1)/n≦ε より、f(x)はR上で連続。
・ a-b=c-d ならば、f(a)-f(b)=f(c)-f(d)である …(2) ことを示す。
a-b=c-d のとき、任意のε＞0について、(c-ε)-d＜a-b＜(c+ε)-d
条件(A)から、f(c-ε)-f(d)＜f(a)-f(b)＜f(c+ε)-f(d)
ε→0 とすると、f(x)の連続性より、f(a)-f(b)=f(c)-f(d) である。
特に、f(x)-f(0)=f(0)-f(-x) より、f(-x)=-f(x) となる。
・ (2)より、(1)の右辺の各項は等しいので、f(1)=nf(1/n) である。
・ 任意の自然数 m、n 対して、
f(m/n)=∑k=1～m （f(k/n)-f((k-1)/n)）=m[f(1/n)-f(0/n)]=f(1)(m/n) となる。
つまり、x が正の有理数ならば、f(x)=f(1)x である。
f(-x)=-f(x) なので、これは x が負の有理数でも成り立つ。
f(x)は連続関数なので、任意の実数xについて、f(x)=f(1)x が成り立つ。 （証終）
（コメント） 冒頭の問題が約５年ぶりに肯定的に解決されたということで大変嬉しく思います。
ＩＴさん、今田さんに感謝します。
以下、工事中！