根号を含む式の極限　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和５年６月１日付け）

　次の極限値を求めよ。

　lim_n→∞ ｎ[(√(ｎ(ｎ＋１))−ｎ)^3/ｎ−(√(ｎ(ｎ＋１))−（ｎ＋１）))^3/(ｎ＋１)]

（出典：1973年 京都大学前期理系）







































（答）　分子の有理化を行って、

ｎ[(√(ｎ(ｎ＋１))−ｎ)^3/ｎ−(√(ｎ(ｎ＋１))−（ｎ＋１）))^3/(ｎ＋１)]

＝ｎ³/(√(ｎ(ｎ＋１))＋ｎ)^3＋ｎ（ｎ＋１）²/(√(ｎ(ｎ＋１))＋（ｎ＋１）))^3

＝１/(√(１＋１/ｎ)＋１)^3＋(１＋１/ｎ)²/(√(１＋１/ｎ)＋（１＋１/ｎ))^3

→　１/８＋１/８＝１/４　（as　ｎ→∞）