当ＨＰ読者のＨＮ「another rp」さんからの出題です。（平成２５年２月７日付け）
次の事柄は正しいか？
ｎ！/(ｘｎ)ｙｎ →０ (ｎ→∞) ただし、ｘ、ｙは任意の正の定数とする。
※友人が唐突に思いついたもので、これが正しいという証明はできていません。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年２月７日付け）
ｎ！～√(2πn)・(n/e)n なので、例えば、ｘ=0.1、ｙ=1 のとき成り立たないと思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年２月７日付け）
らすかるさんの報告を受けて、
y=1 のとき、 ｘ＜0.3678‥ なら → ∞
ｘ＞0.3679‥ なら → 0
という境目があるみたいです。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年２月８日付け）
y=1 のときの境目は、1/e=0.36787944…です。
また、ｘ=1 で、y=0.95のとき、n=1億8千万ぐらいまでは減少して、n=1億8千万のとき
10^(-3785550)程度まで行きますので、一見0に収束しそうに思えますが、その後増え始めて
無限大に発散します。
一般には、 ｎ！～√(2πn)・(n/e)n から、
ｎ！/(xn)yn～√(2πn)・(n/e)n/(xn)yn
＝√(2πn)・(n/e)n/((xn)y)n
＝√(2πn)・{n/(e・(xn)y)}n
＝√(2πn)・{n1-y/(e・xy)}n
なので、 y＜1 ならば、 ｎ！/(xn)yn → +∞
y＝1 かつ x≦1/e ならば、 ｎ！/(xn)yn → +∞
y＝1 かつ x＞1/e ならば、 ｎ！/(xn)yn → 0
y＞1 ならば、 ｎ！/(xn)yn → 0
となりますね。