極限値　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年７月６日付け）

　 次の極限値を求めよ。

　　　　lim_ｎ→∞��_k=1〜n {(√k)/n}・sin{(√k)/n}





































（答）　ＨＮ「☆」さんが解かれました。（平成２４年７月７日付け）

　極限値は、「１/２」ではないでしょうか。

あと、lim_ｎ→∞��_k=1〜n {(√k)/n}・cos{(√k)/n} だと、「∞」に発散するはずです。これは、

cos{(√k)/n}の場所を、cos{(√n)/n}、cos{(√1)/n}とすることで、総和式を挟み撃ちにしたう

えで両方確かめると無限大に発散することからいえます。

　総和の結果は特殊関数になるみたいなので、計算には 「Wolfram|Alpha」を使ってください。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年７月７日付け）

　☆様、御解答ありがとうございます。出典は、数学�V赤チャートの147ページの問題です。
問題152の、島根大の改題です。


（コメント）　「☆」さんの「総和式を挟み撃ち」をヒントに考えてみました。

　ｘ−ｘ³/6≦ｓｉｎ ｘ ≦ｘ　から、　(√k)/n−(k√k)/6n³≦sin(√k)/n≦(√k)/n

よって、　k/n²−k²/6n⁴≦{(√k)/n}・sin(√k)/n≦k/n²　より、

　　Σ（k/n）(1/n)−（1/6n）Σ(k/n)²(1/n)≦Σ{(√k)/n}・sin(√k)/n≦Σ（k/n）(1/n)

ｎ→∞　のとき、　Σ（k/n）(1/n)→∫₀¹ｘｄｘ＝１/２

　　　　　　　　　　　（1/6n）Σ(k/n)²(1/n)→０

なので、　Σ{(√k)/n}・sin(√k)/n→１/２


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年７月８日付け）

　直感的に、

　　X=lim�倍(√k)/n}sin{(√k)/n}=lim��(k/n²)・sin{(√k)/n} / {(√k)/n}

で、　sin{(√k)/n} / {(√k)/n}→１　なので、X=lim��(k/n²)＝∫₀¹ｘdｘ＝1/2

というイメージですが、より厳密には、y≧siny≧y-y³/6　という不等式でも使えば、

　　　1 ≧　sin{(√k)/n} / {(√k)/n}　≧　1-(k/n²)/6 ≧1-(1/n)/6

を得るので、

　　lim��(k/n²) ≧ X ≧ (1-(1/n)/6)・lim��(k/n²)

　これでよいと思います。

（コメント）　lim_θ→0 sinθ/θ＝１　を用いる手法に感動しました。空舟さんに感謝します。