当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（令和元年６月２２日付け）
問題 △ABCに対し、辺ABをα：βに内分する点をD、辺ACをm：nに内分する点をEとし、
CDとBEが交わる交点をP、AとPを結んだ線が辺BCと交わる点をQとする。
このとき、 (1) AP：PQ (2) BQ：QC を求めよ。
（答） カナさんから解答をいただきました。（令和元年６月２２日付け）
メネラウスの定理を用いず他の自然な方法で、
(1) AP：PQ=mβ+nα：nβ (2) BQ：QC=mβ：nα
これで大丈夫のようです。
らすかるさんが考察されました。（令和元年６月２２日付け）
△ABQと直線CDに関するメネラウスの定理により、
α/β・(BQ+QC)/QC・PQ/PA=1 … (a)
△AQCと直線BEに関するメネラウスの定理により、
m/n・(BQ+QC)/BQ・PQ/PA=1 … (b)
(a)/(b) から、 BQ/QC=(mβ)/(nα) … (c)
(c)から、(BQ+QC)/QC=(mβ+nα)/(nα) なので、(a)に代入して整理すると、
AP/PQ=(mβ+nα)/(nβ)
従って、 (1) AP：PQ=mβ+nα：nβ (2) BQ：QC=mβ：nα
＃ちなみに他の内分比は、 CP：PD=n(α+β)：mβ 、BP：PE=(m+n)β：nα
（コメント） ベクトルにおける定型的な線分比の計算ですね。
私だったら、チェバの定理から、BQ：QC を求め、その後、メネラウスの定理を用いて、
AP：PQ を求めるのかな．．．。
実際に、 （α/β）・（BQ/QC）・（ｎ/ｍ）＝１ から、 BQ/QC＝（ｍβ）/（ｎα）
（α/β）・（ｍβ＋ｎα）/（ｎα）・（PQ/AP）＝１ から、 PQ/AP＝（ｎβ）/（ｍβ＋ｎα）
＃ カナさんは、ベクトルの一次独立の性質を用いて求められたのかな？
カルピスさんからのコメントです。（令和元年６月２２日付け）
以前にも載せたサイト「メネラウスとチェバの定理の超進化系！」だけど、アゲイン。