下図のように、ＡＢ＝６、ＡＤ＝２、∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°の台形ＡＢＣＤがある。
∠ＢＤＣ＝４５°のとき、辺ＢＣの長さを求めよ。
（答） ＢＣ＝５ である。
実際に、Ｃより線分ＢＤに垂線ＣＨを下ろすと、△ＡＢＨ∽△ＨＣＢ なので、
ＨＢ：ＨＣ＝２：６＝１：３ から、 ＨＢ＝ｍ 、ＨＣ＝３ｍ とおける。
上図において、 △ＨＣＤ は、直角２等辺三角形なので、 ＨＣ＝ＨＤ＝３ｍ となる。
よって、△ＡＢＤにおいて、三平方の定理より、（４ｍ）2＝２2＋６2＝４０ なので、ｍ2＝５/２
したがって、 ＢＣ2＝ｍ2＋９ｍ2＝２５ より、 ＢＣ＝５ となる。 （終）
次のような別解も考えられる。
直角２等辺三角形ＢＦＤを作ると、 △ＡＢＤ≡△ＥＦＢ なので、 ＢＥ＝２ 、ＥＦ＝６
このとき、△ＤＧＣ∽△ＦＨＣ なので、 ＤＧ ： ＧＣ＝ＦＨ ： ＨＣ
すなわち、 ＤＧ＝ｎ とおくと、ＧＣ＝６ 、ＨＣ＝２ なので、 ＦＨ＝ｎ/３
したがって、 ６－ｎ/３＝２＋ｎ より、 ｎ＝３ となる。
よって、ＢＣ＝５ である。 （終）
また、面積に注目すれば、次のような別解も考えられる。
上図において、 △ＢＦＤ＝台形ＡＥＦＤ－△ＡＢＤ×２＝８×８÷２－１２＝２０ なので、
ＢＣ×８÷２＝２０ より、 ＢＣ＝５ となる。 （終）
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