素朴な長さの計算11
下図のように、AB=6、AD=2、∠A=∠B=90°の台形ABCDがある。
∠BDC=45°のとき、辺BCの長さを求めよ。
(答) BC=5 である。
実際に、Cより線分BDに垂線CHを下ろすと、△ABH∽△HCB なので、
HB:HC=2:6=1:3 から、 HB=m 、HC=3m とおける。
上図において、 △HCD は、直角2等辺三角形なので、 HC=HD=3m となる。
よって、△ABDにおいて、三平方の定理より、(4m)2=22+62=40 なので、m2=5/2
したがって、 BC2=m2+9m2=25 より、 BC=5 となる。 (終)
次のような別解も考えられる。
直角2等辺三角形BFDを作ると、 △ABD≡△EFB なので、 BE=2 、EF=6
このとき、△DGC∽△FHC なので、 DG : GC=FH : HC
すなわち、 DG=n とおくと、GC=6 、HC=2 なので、 FH=n/3
したがって、 6−n/3=2+n より、 n=3 となる。
よって、BC=5 である。 (終)
また、面積に注目すれば、次のような別解も考えられる。
上図において、 △BFD=台形AEFD−△ABD×2=8×8÷2−12=20 なので、
BC×8÷2=20 より、 BC=5 となる。 (終)
以下、工事中!