曲線の長さ３　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和元年１２月１日付け）

問題　ｎを自然数とする。複素数zが単位円 |z|＝1 を一周するとき、

　　f(z)＝z−(1/(n+1))z^(n+1)

が描く曲線の長さを求めよ。





































（答）　ＧＡＩ さんが考察されました。（令和元年１２月２日付け）

　常に、８かな？

　２∫₀^2π |ｓｉｎ(ｎθ/２)|ｄθ　で、

　ｓｉｎ(nθ/２) は、[０，２π/ｎ] での波形を [０，２π] で上下にｎ回繰り返すから、

　２ｎ・∫₀^2π/n ｓｉｎ(ｎｘ/２)ｄθ＝２ｎ・(２/ｎ)[−ｃｏｓ(ｎθ/２)]₀^2π/n＝８


（コメント）　|z|＝1 より、ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ　（０≦θ≦２π）　とおける。

　このとき、ｆ(ｚ)＝ｘ＋ｉ・ｙ　とおくと、

　ｘ＝ｃｏｓθ−（１/（ｎ＋１））ｃｏｓ（ｎ＋１）θ　、ｙ＝ｓｉｎθ−（１/（ｎ＋１））ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

なので、　ｘ_θ＝−ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ＋１）θ＝２ｃｏｓ（（ｎ＋２）/２）θｓｉｎ（ｎ/２）θ

　　　　　ｙ_θ＝ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ＝２ｓｉｎ（（ｎ＋２）/２）θｓｉｎ（ｎ/２）θ

　よって、曲線の長さＬは、

　Ｌ＝∫₀^2π √（ｘ_θ²＋ｙ_θ²）ｄθ＝２ ∫₀^2π｜ｓｉｎ（ｎ/２）θ｜ｄθ

　（ｎ/２）θ＝ｔ　とおくと、　ｄθ＝（２/ｎ）ｄｔ　で、

　Ｌ＝（４/ｎ）∫₀^ｎπ ｜ｓｉｎ ｔ｜ｄｔ

　　＝（４/ｎ）・ｎ∫₀^π ｓｉｎ ｔ ｄｔ＝４[−ｃｏｓ ｔ ]₀^π＝８