曲線の長さ2                                戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (令和元年11月1日付け)

問題 次の曲線の長さを求めよ。

(1) 9y^2=x(x-3)^2 の点(0,0)から点(3,0)までの部分

(2) x=t^2、y=(1/3)t(t^2-3) がx軸によって切りとられる部分




































(答) GAIさんが考察されました。(令和元年11月1日付け)

 答えは、(1) 4 (2) 2 かな?


 よおすけさんからのコメントです。(令和元年11月1日付け)

 (2)で、yの式の両辺を2乗すると、y^2=(1/9)(t^2)(t^2-3)^2

 t^2=x より整えると、 9y^2=x(x-3)^2 となります。


(コメント) GAIさんの計算が(?)になっていたので、私も計算してみました。
                                       (令和元年11月6日付け)

 (1)の 9y^2=x(x-3)^2 のグラフは下図のようになります。



 9y^2=x(x-3)^2 は、即ち、 x≧0 において、 3y=±√x|x−3| である。

そこで、(1)は、曲線 y=(1/3)√x(3−x) (0≦x≦3) の長さを求め、2倍すればよい。

 ここで、y’=(1−x)/(2√x) なので、 1+(y’)2=(x+1)2/(4x) なので、

 L=2∫03 √(1+(y’)2)dx=∫03 (√x+1/√x)dx=4

(2)は、よおすけさんのヒントを用いて、y=(1/3)t(t^2-3) の式の両辺を2乗すると、

 y^2=(1/9)(t^2)(t^2-3)^2 で、t^2=x より整えると、9y^2=x(x-3)^2 となります。

 グラフは、下図のようになります。



 よって、x軸によって切りとられる部分の長さは、(1)の半分で、2 となる。

# GAIさんの計算と一致して、安心しました...。