当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和元年１０月１２日付け）
問題 △ABCの頂点A、B、Cより対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD、E、Fとする。
いま、２/AD＝１/BE＋１/CF とするとき、ADの長さは△ABCの内接円の半径の何倍
になるか。（出典：滋賀大学）
（答） 面白そうだったので解いてみた。
ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ、（ａ＋ｂ＋ｃ）/２＝ｐ、三角形ABCの内接円の半径を ｒ とおくと、
△ＡＢＣ＝ｐｒ＝ａ・ＡＤ/２＝ｂ・ＢＥ/２＝ｃ・ＣＦ/２ より、
ＡＤ＝２ｐｒ/ａ 、ＢＥ＝２ｐｒ/ｂ 、ＣＦ＝２ｐｒ/ｃ
これらを、２/AD＝１/BE＋１/CF に代入して、ａ/（ｐｒ）＝ｂ/（２ｐｒ）＋ｃ/（２ｐｒ） より、
２ａ＝ｂ＋ｃ このとき、 ｐ＝（３/２）ａ なので、 ＡＤ＝２ｐｒ/ａ＝３ｒ （終）
（コメント） 最近の滋賀大学の問題は以前に比べて難化したという評判がありますが、冒頭
の問題は教科書の章末レベルの問題で標準的な良問ですね。ということは、滋賀
大学の相当昔の入試問題？