ヤコビ和　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年９月１８日付け）

　最近知ったことの紹介です。

　ｐを３以上の自然数、ｑをｐで割って１余る素数とする。１の原始ｐ乗根をｗとおくと、
ｗの適当な整数係数多項式によって、絶対値が√ｑ となるような複素数を作ること
ができる。

問題　　ｗ＝e^2πi/5＝ｃｏｓ(2π/5)＋ｉ・ｓｉｎ(2π/5)　とおく。

　　　このとき、複素数 ｚ＝１＋２ｗ−２ｗ²　の絶対値を求めよ。


































（答）　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年９月１９日付け）

　√11 でいい（１１）のかな？


（コメント）　ｗ⁵＝１　より、　１＋ｗ＋ｗ²＋ｗ³＋ｗ⁴＝０　に注意して、

　　｜ｚ｜²＝ｚ・＝（１＋２ｗ−２ｗ²）（１＋２ｗ⁴−２ｗ³）

　　　　　　＝１＋２ｗ⁴−２ｗ³＋２ｗ＋４−４ｗ⁴−２ｗ²−４ｗ＋４

　　　　　　＝９−２（ｗ＋ｗ²＋ｗ³＋ｗ⁴）

　　　　　　＝１１

　　よって、　｜ｚ｜＝√１１


　空舟さんからのコメントです。（平成２５年９月１９日付け）

　√11で正解です。q=11 は 5N+1型素数なのでそのように構成可能でした。

　それでは、次の5N+1型素数 31 = q を採用すれば、w = e^2πi/5 の整数係数多項式で、絶
対値が√31になるような複素数を作ることができるはずです。

　ヤコビ和というものを利用すると、具体的に、そのような複素数構成できるらしいです。具
体的な計算は、以下のようにできます。それで構成できることの説明は私には難しかったで
す。

　mod q における原始根rをとる。χ(a)を次のように定義する：

　a≡0 (mod q) の時、χ(a)=0

　そうでないとき、a≡r^b (mod q) となるbを使って、χ(a) = e^2πi・b/p 　と設定する (※)

　ヤコビ和は、　Σχ(a)χ(1-a) [a∈mod q の剰余類]　で定義されます。この絶対値が√q
になります。

(※)　bは(q-1)大きくしたり小さくしたりできますが、qはpで割って1余る設定なので、bをpで割
った余りは一意的になり、χ(a) = e^2πi・b/p はbの取り方によらず一意的に定まります。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年９月２０日付け）

　(1++ｉ・(-2√[5/8-/8]+2√[5/8+/8]))(1+-ｉ・(-2√[5/8-/8]+2√[5/8+/8]))

を計算すると _________。　(計算せずとも分かる慧眼の方、世界に数多おられるかも...)